[論文レビュー] Homotopy fixed points for L_K(n)(E_n ^ X) using the continuous action

Daniel G. Davis|ArXiv.org|Jan 26, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$K(n)$-局所化された $E_n \wedge X$ が閉部分群 $G \leq G_n$ に対して連続的 $G$-作用をもつことを確立し、そのホモトピー固定点を計算する降下スペクトル系列を構成する。主な結果として、$j \geq 1$ に対して $G_n$ による $\hat{L}(E_n^{(j+1)})$ のホモトピー固定点が $\hat{L}(E_n^{(j)})$ に同型であることが示され、$K(n)$-局所スペクトルと連続群コホモロジーの間の構造的リンクが得られる。

ABSTRACT

Let G be a closed subgroup of G_n, the extended Morava stabilizer group. Let E_n be the Lubin-Tate spectrum, let X be an arbitrary spectrum with trivial G-action, and define E^(X) to be L_K(n)(E_n ^ X). We prove that E^(X) is a continuous G-spectrum with a G-homotopy fixed point spectrum, defined with respect to the continuous action. Also, we construct a descent spectral sequence whose abutment is the homotopy groups of the G-homotopy fixed point spectrum of E^(X). We show that the homotopy fixed points of E^(X) come from the K(n)-localization of the homotopy fixed points of the spectrum (F_n ^ X).

研究の動機と目的

• 閉部分群 $G \leq G_n$ に対して、$\hat{L}(E_n \wedge X)$ に連続的 $G$-作用が存在することを用いて、ホモトピー固定点スペクトル $(\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG}$ を定義し、それらを研究すること。
• ホモトピー固定点のホモトピー群 $\pi_*( (\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG} )$ を収束する降下スペクトル系列を構成すること。
• $\hat{L}(E_n \wedge X)$ のホモトピー固定点が、$F_n \wedge X$ のホモトピー固定点の $K(n)$-局所化から生じることを示すこと。
• $\hat{L}(E_n \wedge X)^{hG}$ のスペクトル系列と $K(n)$-局所 $E_n$-Adams スペクトル系列との比較を確立すること。
• $j \geq 1$ に対して $\pi_*( (\hat{L}(E_n^{(j+1)}) )^{hG_n} )$ を計算し、$\pi_*( \hat{L}(E_n^{(j)}) )$ に同型であることを示すこと。

提案手法

• $\hat{L}(E_n \wedge X)$ が、ファイブレント離散 $G_n$-スペクトルのホモトピー極限としての構造を持つことから、連続的 $G_n$-スペクトルであることが示される。
• $G$ による $\hat{L}(E_n \wedge X)$ の連続的作用を用いて、ホモトピー固定点スペクトル $(\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG}$ が定義される。
• $E_2$-項 $E_2^{s,t} = \pi^s \pi_t( \mathrm{holim}_I (\Gamma^\bullet_G(F_n \wedge M_I \wedge X)_{f,G})^G )$ を持つ降下スペクトル系列が構成され、$\pi_*( (\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG} )$ に条件付き収束する。
• $E_n$-Mittag-Leffler スペクトル $X$ の場合、$E_2$-項は連続コホモロジーに簡略化される：$E_2^{s,t} \cong H^s_{\mathrm{cts}}(G; \pi_t(\hat{L}(E_n \wedge X)))$。
• スペクトル系列を用いて、同型 $\pi_t(\hat{L}(E_n^{(j+1)})) \cong \mathrm{Map}_c^\ell(G_n^j, \pi_t(E_n))$ を用いて、$\pi_*( (\hat{L}(E_n^{(j+1)}) )^{hG_n} )$ を計算する。
• $s > 0$ に対して連続コホモロジー $H^s_{\mathrm{cts}}(G_n; \cdots)$ が消えることを利用し、安定圏において $\hat{L}(E_n^{(j+1)})^{hG_n} \simeq \hat{L}(E_n^{(j)})$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$ が $E_n$ に連続的に作用するとき、$L_{K(n)}(E_n \wedge X)$ のホモトピー固定点はどのように定義され、計算可能か？
• RQ2 $\pi_*( (\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG} )$ の降下スペクトル系列の構造は何か？
• RQ3 連続的 $G_n$-作用 $\hat{L}(E_n \wedge X)$ と $F_n \wedge X$ のホモトピー固定点との関係は何か？
• RQ4 $\hat{L}(E_n \wedge X)^{hG}$ のスペクトル系列は、$K(n)$-局所 $E_n$-Adams スペクトル系列と比較可能か？
• RQ5 $j \geq 1$ のとき、$\hat{L}(E_n^{(j+1)})^{hG_n}$ のホモトピー型は何か？

主な発見

• $K(n)$-局所スペクトル $\hat{L}(E_n \wedge X)$ は、任意の閉部分群 $G \leq G_n$ に対して連続的 $G$-スペクトルであることが示された。
• $E_2$-項 $E_2^{s,t} = \pi^s \pi_t( \mathrm{holim}_I (\Gamma^\bullet_G(F_n \wedge M_I \wedge X)_{f,G})^G )$ を持つ降下スペクトル系列が構成され、$\pi_*( (\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG} )$ に条件付き収束する。
• $E_n$-Mittag-Leffler スペクトル $X$ の場合、$E_2$-項は連続コホモロジーに簡略化される：$E_2^{s,t} \cong H^s_{\mathrm{cts}}(G; \pi_t(\hat{L}(E_n \wedge X)))$。
• $X$ が有限のとき、スペクトル系列は $H^s_c(G; \pi_t(E_n \wedge X)) \Rightarrow \pi_{t-s}((\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG})$ の形をとる。
• $j \geq 1$ のとき、スペクトル系列の計算により $\pi_*( (\hat{L}(E_n^{(j+1)}) )^{hG_n} ) \cong \pi_*( \hat{L}(E_n^{(j)}) )$ がアーベル群として同型であることが示された。
• したがって、$j \geq 1$ に対して安定圏において $\hat{L}(E_n^{(j+1)})^{hG_n} \simeq \hat{L}(E_n^{(j)})$ が成り立つ。