[論文レビュー] Homotopy groups of complements and non-isolated singularities

Anatoly Libgober, Mihai Tibăr|ArXiv.org|Feb 6, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非孤立特異点をもつ超曲面の補集合の最初の非自明なホモトピー群と、グローバル（多項式）およびローカル（局所的）な設定におけるミルナー・ファイバーのホモロジーの直接的な関係を確立する。原点の近傍の小さな球体 $B_H$ における $\pi_{n-1}(B_H \setminus B_H \cap V)$ は torsion であり、その位数は球面上の対応する群の位数を割り切る。また、局所的状況では、モノドロミー作用の特性多項式がこの位数と一致する。

ABSTRACT

We obtain sufficient conditions for the vanishing of higher homotopy groups of the complements to hypersurfaces in ${\mathbb C}^n$ in terms of the behavior at infinity and relate the monodromy of non isolated singularities to the position of singularities in generic plane sections.

研究の動機と目的

• 非孤立特異点とその補集合のホモトピー型との間の位相的関係を明確化すること。
• 無限遠点に非孤立特異点をもつ多項式の補集合の高次のホモトピー群に関する結果を拡張すること。
• ミルナー・ファイバーの最初の非自明なホモロジー群を、一般の線型切断におけるゼロ集合の補集合の最初の非自明なホモトピー群に関連付けること。
• グローバルおよびローカル設定においてホモトピー群の位数に関する整除定理を証明すること。
• 局所的状況において、ミルナー・ホモロジー上のモノドロミー作用とホモトピー群の torsion 位数との明確な関係を確立すること。

提案手法

• 複素数空間 $\mathbb{C}^{n+1}$ 内の超曲面 $V = f^{-1}(0)$ の補集合を分析し、特に $k = \dim \operatorname{Sing}(V)$ である $\pi_{n-k}$ を焦点とするホモトピー群 $\pi_i(\mathbb{C}^{n+1} \setminus V)$ を考察する。
• codimension $k$ の線型切断 $H$ を用いてグローバル問題をローカル問題に還元し、$\pi_i(H \setminus H \cap V)$ を研究する。
• ザリスキ＝レフシェッツの定理と局所的コーン構造を用いて、$B_H \setminus B_H \cap V$ のホモトピー型を $S_H \setminus S_H \cap V$ のホモトピー型と関連付ける。ここで $B_H$ は小さな球体、$S_H$ はその境界を表す。
• ミルナー・ファイブレーションと $f$ の一般の超平面への制限を用いて、特異点集合の近傍における補集合の位相を分析する。
• $\phi = (h,g): \mathbb{C}^{n+1} \to \mathbb{C}^2$ の写像と極曲線 $\Gamma(h,g)$ を用いて、$B_H \setminus B_H \cap V$ 内のホモトピー同値とセルの付加を構成・分析する。
• ホモトピー完全系列と $\pi_1$-加群の性質を適用し、$\pi_{n-1}(S_H \setminus S_H \cap V)$ が torsion $\pi_1$-加群であることを示し、$\pi_{n-1}(B_H \setminus B_H \cap V) \otimes \mathbb{C}$ が ${\mathbb{C}}[\mathbb{Z}]$-torsion 加群であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非孤立特異点をもつ超曲面の補集合の高次ホモトピー群は、そのミルナー・ファイバーのホモロジーとどのように関係するか？
• RQ2 多項式のファイバーの補集合のホモトピー型を決定する際に、無限遠点における特異点は果たす役割は何か？
• RQ3 補集合の最初の非自明なホモトピー群の位数は、ミルナー・ホモロジー上のモノドロミー作用と関連づけられるか？
• RQ4 非孤立特異点の位置と局所的型は、補集合の位相にどのように影響するか？
• RQ5 非孤立特異点が存在する状況で、一般のファイバーの最初の非自明なホモロジー群が消えるか、または消えないかを保証する条件は何か？

主な発見

• 境界 $S_H$ をもつ小さな球体 $B_H$ 内の $\pi_{n-1}(S_H \setminus S_H \cap V)$ は、$S_H$ が一般の線型切断 $H$ 内の小さな球体の境界であるとき、torsion $\pi_1$-加群である。
• $\pi_{n-1}(B_H \setminus B_H \cap V) \otimes \mathbb{C}$ は ${\mathbb{C}}[\mathbb{Z}]$-torsion 加群であり、その位数は $\pi_{n-1}(S_H \setminus S_H \cap V)$ の位数を割り切る。
• $\pi_{n-1}(B_H \setminus B_H \cap V) \otimes \mathbb{C}$ の位数は、特異点集合に関連するある不変量 $\Delta_i$ の積 $\prod_i \Delta_i$ を割り切る。
• 次元が 1 以下の特異点集合をもつ局所的関数 $g$ に対して、$H_{n-1}(M_g, \mathbb{C})$ 上のモノドロミー作用の特性多項式は、$\pi_{n-1}(B_H \setminus B_H \cap V)$ の位数に一致する。
• $B_H \setminus B_H \cap V$ は、$g$ の $B_{H_t} \setminus B_{H_t} \cap V$ 上の特異点における $n$-セルを付加した $\{|g| = \varepsilon\} \cap B_{H_t}$ とホモトピー同値である。
• $\phi = (h,g)$ の写像は、$\{|g| = \varepsilon\} \cap B_{H_0}$ と $\{|g| = \varepsilon\} \cap B_{H_t}$ の間にホモトピー同値を誘導し、補集合のホモトピー型の構成を可能にする。