[論文レビュー] Homotopy groups of $E_{C}^{hG_{24}}\wedge A_1$

Viet‐Cuong Pham|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、$A_1$ を $ vert\mathbb{F}_4$ 上の特異的楕円曲線 $y^2 + y = x^3$ に関連する第二種モラバ $E$-理論 $E_C$ と、$G_{24}$ におけるホモトピー固定点スペクトル系列（HFPSS）を用いて、スペクトル $E_{C}^{hG_{24}} \wedge A_1$ のホモトピー群を計算する。$A_1$ は $A(1)$-自由な mod 2 コホモロジーを持つ有限スペクトルであり、$E_C$ はその曲線の形式的完成の自己同型群の最大有限部分群 $G_{24}$ に対してホモトピー固定点を取ることで得られる。主な結果として、HFPSS が $E_{C}^{hG_{24}} \wedge A_1$ のホモトピー群に収束し、広範な微分と周期性を用いて、$W(\mathbb{F}_4) \otimes_{\mathbb{Z}_2} \pi_*(\mathrm{tmf} \wedge A_1)/(κ, \nu)$ と $\pi_*(E_{C}^{hG_{24}} \wedge A_1)$ が 96 から 192 の茎において同型であることが確立される。

ABSTRACT

Let $A_1$ be any spectrum in a class of finite spectra whose mod $2$ cohomology is isomorphic to a free module of rank one over the subalgebra $\mathcal{A}(1)$ of the Steenrod algebra. Let $E_{C}$ be the second Morava-$E$ theory associated to a universal deformation of the formal completion of the supersingular elliptic curve $(C) : y^{2}+y = x^{3}$ defined over $\mathbb{F}_{4}$ and $G_{24}$ a maximal finite subgroup of automorphism group $\mathbb{S}_{C}$ of the formal completion of $C$. In this paper, we compute the homotopy groups of $E_{C}^{hG_{24}}\wedge A_1$ by means of the homotopy fixed point spectral sequence.

研究の動機と目的

• $A(1)$-自由な mod 2 コホモロジーを持つ有限スペクトル $A_1$ を用いて、$p=2$ における $E_C^{hG_{24}} \wedge A_1$ のホモトピー群を計算すること。
• ホモトピー固定点スペクトル系列（HFPSS）を用いて、$p=2$ における $K(2)$-局所ホモトピー圏の構造を理解すること。
• $\kappa$ および $\nu$ を法とするスペクトル系列技術を用いて、$E_C^{hG_{24}} \wedge A_1$ と $\mathrm{tmf} \wedge A_1$ のホモトピー群の間の比較を確立すること。
• HFPSS における微分を分析し、特定の類が $E_\infty$-項にまで生存することを証明し、それらが非自明なホモトピー群をもたらすことを保証すること。

提案手法

• $G_{24}$ を $\mathbb{F}_4$ 上の特異的楕円曲線 $C: y^2 + y = x^3$ の形式的完成の自己同型群の最大有限部分群とする。$E_C^{hG_{24}} \wedge A_1$ に対してホモトピー固定点スペクトル系列（HFPSS）を用いる。
• Davis-Mahowald スペクトル系列を用いて、$A_1$ の $A(2)^*$-comodule 構造を分析し、$A(1)$-自由なコホモロジーを活用して $E_2$-項を計算する。
• $\mathrm{tmf} \wedge A_1$ に対してアダムズ スペクトル系列（ASS）を用い、スパarseness と $\nu$-線形性を用いて、$\pi_*(\mathrm{tmf} \wedge A_1)/(\kappa, \nu)$ を計算し、生存する類を特定する。
• HFPSS における微分、特に $d_2$、$d_3$、$d_4$ を分析し、$\kappa$-および $\nu$-線形性、および $g$-倍数の作用を用いて、どの類が生存するか、または消えるかを特定する。
• $\pi_*(E_C^{hG_{24}} \wedge A_1)$ の $\Delta^8$-周期性を用いて、96–144 の茎から得た結果を 144–192 に拡張し、スペクトル系列が $W(\mathbb{F}_4) \otimes_{\mathbb{Z}_2} \pi_*(\mathrm{tmf} \wedge A_1)/(\kappa, \nu)$ に同型に収束することを証明する。
• 図 22 から 29 において、$E_7$-項以降の HFPSS を構築・解釈し、生存する類（•）と微分（◦）をマークする。生成子は命題 5.3.10 からのものである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p=2$ における $E_C^{hG_{24}} \wedge A_1$ のホモトピー群は何か？ また、それらは $\mathrm{tmf} \wedge A_1$ のホモトピー群とどのように関係しているか？
• RQ2 HFPSS における微分は、類の収束にどのように影響するか？ どの類が $E_\infty$ にまで生存するか？
• RQ3 $\pi_*(E_C^{hG_{24}} \wedge A_1)$ の $\Delta^8$-周期性は、低次の茎から高次の茎への結果の拡張にどの程度寄与するか？
• RQ4 HFPSS を用いて、$W(\mathbb{F}_4) \otimes_{\mathbb{Z}_2} \pi_*(\mathrm{tmf} \wedge A_1)/(\kappa, \nu)$ と $\pi_*(E_C^{hG_{24}} \wedge A_1)$ が 96–192 の範囲で同型であることを確立できるか？
• RQ5 $\nu$-線形性と $g$-倍数の類は、スペクトル系列における非自明な元の検出とその収束にどのように寄与するか？

主な発見

• $\pi_*(E_C^{hG_{24}} \wedge A_1)$ のホモトピー群は HFPSS を用いて計算され、96–144 および 144–192 の茎におけるすべての類が非自明な要素に収束することが示された。
• $\nu w_2^2 e[0,0], \nu w_2^2 e[1,5], \dots, \nu w_2^2 e[4,23]$ の類は $E_\infty$-項にまで生存し、96–144 の茎において $\pi_*(\mathrm{tmf} \wedge A_1)/(\kappa, \nu)$ の非自明な要素に収束する。
• $\nu w_3^2 e[0,0], \nu w_3^2 e[1,5], \dots, \nu w_3^2 e[4,23]$ の類はすべて $E_\infty$-項にまで生存し、144–192 の茎において $\pi_*(\mathrm{tmf} \wedge A_1)/(\kappa, \nu)$ の非自明な要素に収束する。
• $W(\mathbb{F}_4) \otimes_{\mathbb{Z}_2} \pi_*(\mathrm{tmf} \wedge A_1)/(\kappa, \nu)$ から $\pi_*(E_C^{hG_{24}} \wedge A_1)/(\kappa, \nu)$ への写像 $\Theta'$ は、全射性と $\Delta^8$-周期性により同型である。
• 図 22 から 29 において、HFPSS が $E_7$-項以降に可視化され、生存する類（•）と微分（◦）がマークされている。144–197 の範囲で $\Delta^8$-周期性が顕在している。
• スペクトル系列は $E_\infty$ で収束し、$W(\mathbb{F}_4) \otimes_{\mathbb{Z}_2} \pi_*(\mathrm{tmf} \wedge A_1)/(\kappa, \nu)$ と $\pi_*(E_C^{hG_{24}} \wedge A_1)$ は 96–192 の茎において同型であり、$\Delta^8$-周期性が拡張を保証している。