[論文レビュー] Homotopy groups of Hom complexes of graphs

Anton Dochtermann|ArXiv.org|May 18, 2007

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、グラフの点付き Hom 複体のホモトピー群を関連付ける長完全系列を確立し、$\mathrm{Hom}⁡_*(G,H)$ の高次のホモトピー群が、反復ループグラフ $\Omega^i H$ への $×$-ホモトピー類の点付きグラフ写像と同型であることを示している。主な貢献は、A理論から $×$-ホモトピー枠組みへ一般化された、組み合わせ的に定義された $×$-ホモトピー群の位相的解釈を、$\mathrm{Hom}⁡_*$ 複体のホモトピー群を通じて与えることにある。

ABSTRACT

The notion of $ imes$-homotopy from \cite{DocHom} is investigated in the context of the category of pointed graphs. The main result is a long exact sequence that relates the higher homotopy groups of the space $\Hom_*(G,H)$ with the homotopy groups of $\Hom_*(G,H^I)$. Here $\Hom_*(G,H)$ is a space which parametrizes pointed graph maps from $G$ to $H$ (a pointed version of the usual $\Hom$ complex), and $H^I$ is the graph of based paths in $H$. As a corollary it is shown that $π_i \big(\Hom_*(G,H) \big) \cong [G,Ω^i H]_{ imes}$, where $ΩH$ is the graph of based closed paths in $H$ and $[G,K]_{ imes}$ is the set of $ imes$-homotopy classes of pointed graph maps from $G$ to $K$. This is similar in spirit to the results of \cite{BBLL}, where the authors seek a space whose homotopy groups encode a similarly defined homotopy theory for graphs. The categorical connections to those constructions are discussed.

研究の動機と目的

• 組み合わせ的に定義されたグラフ理論における $×$-ホモトピー群の位相的解釈を提供すること。
• 点付き Hom 複体 $\mathrm{Hom}⁡_*(G,H)$ の高次ホモトピー群を、グラフ写像の $×$-ホモトピー類に関連付けること。
• $\mathrm{Hom}⁡_*(G,H)$、$\mathrm{Hom}⁡_*(G,H^I)$、およびループグラフ $\Omega H$ を含むホモトピー群の長完全系列を確立すること。
• $×$-ホモトピー群が、点付き Hom 複体の標準的ホモトピー群に対応することを示すこと。

提案手法

• 点付きグラフのホモモーティズムから $H$ への点付きグラフ準同型をパラメータ化する位相空間として、点付き Hom 複体 $\mathrm{Hom}⁡_*(G,H)$ を導入する。
• 経路グラフ $H^I$ を $H$ 内の基底付き経路のグラフとして定義し、$\mathrm{Hom}⁡_*(G,H^I)$ から $\mathrm{Hom}⁡_*(G,H)$ への自然な端点評価写像を構成する。
• 評価写像によって誘導されるファイブレーションに関連するホモトピー群の長完全系列を用い、$\pi_i(\mathrm{Hom}_*(G,H))$ を $\pi_{i-1}(\mathrm{Hom}_*(G,\Omega H))$ に関連付ける。
• 長完全系列を繰り返し適用し、$\mathrm{Hom}_*(T,G^I)$ の可縮性を用いて、ホモトピー群と $×$-ホモトピー類の間の同型を導出する。
• 点付きグラフの圏におけるスメール積と内部ホモの随伴関係を活用し、Hom 複体をループ空間に関連付ける。
• $\pi_0(\mathrm{Hom}_*(T,G)) = [T,G]_\times$ および $\pi_1(\mathrm{Hom}_*(T,\Omega G)) = \pi_0(\mathrm{Hom}_*(T,\Omega^2 G))$ の事実を用いて、最終的な同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 組み合わせ的に定義されたグラフの $×$-ホモトピー群は、$\mathrm{Hom}⁡_*$ 複体のホモトピー群を通じてどのように位相的に解釈できるか？
• RQ2 $\mathrm{Hom}⁡_*(G,H)$ のホモトピー群と、反復ループグラフ $\Omega^i H$ への $G$ からの $×$-ホモトピー類の間の関係は何か？
• RQ3 経路グラフ構成 $H^I$ を用いて、$\mathrm{Hom}⁡_*$ 複体のホモトピー群の長完全系列を構成できるか？
• RQ4 グラフにおけるループ空間作用 $\Omega$ は、$\mathrm{Hom}⁡_*$ 複体の文脈で、古典的ループ空間ファンクタに一致するか？
• RQ5 点付きグラフに対して、$\pi_i(\mathrm{Hom}_*(G,H))$ と $[G, \Omega^i H]_\times$ の間にカテゴリカル同値が存在するか？

主な発見

• ホモトピー群 $\mathrm{Hom}⁡_*(G,H)$ は、$\Omega^i H$ への $G$ からの $×$-ホモトピー類と同型であり、すなわち $\pi_i(\mathrm{Hom}_*(G,H)) \cong [G, \Omega^i H]_\times$ が成り立つ。
• 評価ファイブレーション $\mathrm{Hom}⁡_*(G,H^I) \to \mathrm{Hom}⁡_*(G,H)$ に対して、ファイバー $\mathrm{Hom}⁡_*(G,\Omega H)$ を持つホモトピー群の長完全系列が確立された。
• 任意の有限点付きグラフ $T$ に対して $\mathrm{Hom}⁡_*(T,G^I)$ が可縮であることが示され、長完全系列における境界写像が同型であることを示唆する。
• 長完全系列を繰り返し適用することで、$\pi_i(\mathrm{Hom}_*(T,G)) \cong \pi_1(\mathrm{Hom}_*(T,\Omega^{i-1} G)) \cong \pi_0(\mathrm{Hom}_*(T,\Omega^i G)) \cong [T, \Omega^i G]_\times$ が得られた。
• この構成は非点付きグラフへ一般化可能であるが、その場合、ファイバー項 $\varphi_T^{-1}(\leq \gamma)$ は自然な Hom 複体の解釈を持たない。
• 結果として、グラフの $×$-ホモトピー群が、点付き Hom 複体の標準的ホモトピー群と自然に同型であることが示され、組み合わせ的ホモトピー不変量の位相的実現が得られた。