[論文レビュー] Homotopy groups of orbits of Morse functions on surfaces

Sergiy Maksymenko|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2003

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、滑らかな曲面上のモース関数の軌道のホモトピー群を微分同相群の作用の下で調べるものである。k ≥ 3 に対して πk(O(f)) ≅ πk(M) が成り立ち、ほとんどの場合 π2(O(f)) = 0 であり、π1(O(f)) は f のリーブグラフの自己同型群を含む拡張であることが示され、M がアスpherical であるとき O(f) はアスpherical であることがわかる。

ABSTRACT

Abstract. Let M be a smooth compact surface, orientable or not, with boundary or without it. Let also P be either the real line R 1 or the circle S 1. Then the group D(M) of diffeomorphisms of M acts on C ∞ (M, P) by the rule h · f ↦ → f ◦ h, for h ∈ D(M) and f ∈ C ∞ (M, P). Let f: M → P be a Morse function and O(f) be the orbit of f under this action. We prove that πkO(f) = πkM for k ≥ 3, π2O(f) = 0 except for few cases. In particular, O(f) is aspherical, provided so is M. Moreover, π1O(f) is an extension of a finitely generated free abelian group with a (finite) subgroup of the group of automorphisms of the Reeb graph of f. 1.

研究の動機と目的

• 滑らかな曲面 M 上のモース関数 f の軌道 O(f) のホモトピー群を、微分同相群 D(M) の作用の下で特定すること。
• O(f) の位相的構造を、元の曲面 M と f のリーブグラフの観点から理解すること。
• 特に M がアスpherical である場合に、軌道 O(f) がアスpherical となる条件を確立すること。
• π1(O(f)) を、f のリーブグラフの自己同型群を含む拡張として記述すること。

提案手法

• 微分同相群 D(M) が C∞(M, P)（P = ℝ または S¹ への滑らかな写像の空間）に合成により作用するのを分析する: h · f = f ∘ h。
• 主な位相的対象として、O(f) = {f ∘ h | h ∈ D(M)} を用いる。
• k ≥ 2 に対して πk(O(f)) を計算するために、障害理論的およびホモトピー的技法を適用し、特に π1(O(f)) の構造に注目する。
• O(f) の位相を、特にそのグラフの自己同型群を通じて、f のリーブグラフと関連付ける。
• ホモトピー上昇および同倫拡張性質を用いて、k ≥ 3 に対して πk(O(f)) ≅ πk(M) を確立する。
• 軌道空間の 2 スキーマと曲面の位相との関係を分析することで、π2(O(f)) = 0 をすべての例外的でない場合に証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 2 に対して、滑らかな曲面 M 上のモース関数 f の軌道 O(f) のホモトピー群 πk(O(f)) は何か？
• RQ2 O(f) の位相は、元の曲面 M の位相とどのように関係しているか？
• RQ3 M がアスpherical であるとき、O(f) がアスpherical となる条件は何か？
• RQ4 π1(O(f)) の構造は何か？ また、f のリーブグラフの自己同型群とどのように関係しているか？
• RQ5 π2(O(f)) が非自明となる例外的な場合があるのか？ もしあるならば、それらはどのように特徴づけられるか？

主な発見

• k ≥ 3 に対して、軌道 O(f) のホモトピー群は曲面 M のそれと同型である: πk(O(f)) ≅ πk(M)。
• すべての例外的でない場合に、第二ホモトピー群 π2(O(f)) は消える。これは、一般に O(f) が非常にアスpherical であることを示している。
• 基本群 π1(O(f)) は、有限生成の自由アーベル群を部分群として持ち、f のリーブグラフの自己同型群の部分群による拡張である。
• M がアスpherical である場合、π2(O(f)) の消えおよび k ≥ 3 に対して πk(O(f)) ≅ πk(M) の同型から、軌道 O(f) もアスpherical であることが導かれる。
• f のリーブグラフは、π1(O(f)) の構造を決定づける中心的役割を果たす。特にその自己同型群を通じて。
• 結果は、境界をもつまたは持たない可縮可能または非可縮可能な滑らかな曲面、および ℝ または S¹ への写像の両方に対して成り立つ。