[論文レビュー] Homotopy homomorphisms and the classifying space functor

R. M. Vogt|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、底付き写像のホモトピー同値なホモトピー型のカテゴリと、すべてのホモトピー同値なホモトピー型のカテゴリにそれぞれ局所化した後、クラスファイイング空間関手 $B: \mathcal{M}on \to \mathcal{T}\!op^*$ がモアルループ空間関手 $\Omega'$ に対して左随伴であることを確立する。主な結果は、良好な点を持つモノイドと良好な点を持つ空間の間で、ホモトピーの意味での随伴が成り立つことであり、これは図式へと持ち上げられ、$B$ がホモトピー余極限を自然なホモトピー同値な写像を除いて保存することを示唆する。

ABSTRACT

We show that the classifying space functor $B: Mon o Top*$ from the category of topological monoids to the category of based spaces is left adjoint to the Moore loop space functor $Ω': Top* o Mon$ after we have localized $Mon$ with respect to all homomorphisms whose underlying maps are homotopy equivalences and $Top*$ with respect to all based maps which are (not necessarily based) homotopy equivalences. It is well-known that this localization of $Top*$ exists, and we show that the localization of $Mon$ is the category of monoids and homotopy classes of homotopy homomorphisms. To make this statement precise we have to modify the classical definition of a homotopy homomorphism, and we discuss the necessary changes. The adjunction is induced by an adjunction up to homotopy between the category of well-pointed monoids and homotopy homomorphisms and the category of well-pointed spaces. This adjunction is shown to lift to diagrams. As a consequence, the well-known derived adjunction between the homotopy colimit and the constant diagram functor can also be seen to be induced by an adjuction up to homotopy before taking homotopy classes. As applications we among other things deduce a more algebraic version of the group completion theorem and show that the classifying space functor preserves homotopy colimits up to natural homotopy equivalences.

研究の動機と目的

• トポロジカルモノイドのカテゴリとベース付き空間のカテゴリをホモトピー同値を対象とする局所化の下で、クラスファイイング空間関手 $B$ とモアルループ空間関手 $\Omega'$ の間でホモトピー随伴を確立すること。
• 古典的設定下で $\Omega'$ が積を保存しないという問題を、両方のカテゴリをホモトピー同値を対象とする局所化によって解決すること。
• 局所化されたトポロジカルモノイドのカテゴリが、モノイドとホモトピー同値なホモトピー準同型写像のホモトピー類からなることの証明を伴い、一貫性を保つためにホモトピー準同型写像の定義を修正する必要があること。
• ホモトピー余極限と定数図式関手の導来随伴が、ホモトピー類をとる前段階でホモトピーの意味での随伴から生じることを示すこと。
• この結果を応用して、群完備化定理の代数的版を導出し、$B$ がホモトピー余極限を自然なホモトピー同値な写像を除いて保存することを証明すること。

提案手法

• 底付き写像がホモトピー同値であるすべての準同型写像を逆にするように、トポロジカルモノイドのカテゴリ $\mathcal{M}on$ を局所化する。
• ベース付き写像が（必ずしもベース付きでない）ホモトピー同値であるすべての写像を逆にするように、ベース付き空間のカテゴリ $\mathcal{T}\!op^*$ を局所化する。
• 局所化された $\mathcal{M}on$ がモノイドとそのホモトピー同値なホモトピー準同型写像の類からなるように保つために、ホモトピー準同型写像の定義を修正する。
• 良好な点を持つモノイドのカテゴリと良好な点を持つ空間のカテゴリの間で、ホモトピーの意味での随伴 $B: \mathcal{H}\!\mathcal{M}on^w \leftrightarrows \mathcal{T}\!op^w : \Omega'$ を確立する。
• この随伴を図式へと持ち上げ、ホモトピー余極限と定数図式関手の導来随伴が、ホモトピー類をとる前の段階でホモトピーの意味での随伴から生じることを示す。
• ホモトピー余極限の構成 $\mathop{\rm hocolim}\nolimits D = B(\ast, \mathcal{C}, \mathcal{C}) \otimes_\mathcal{C} QD$ を用いて、$B$ がホモトピー余極限を自然なホモトピー同値な写像を除いて保存することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切に局所化された出発カテゴリと終域カテゴリの下で、クラスファイイング空間関手 $B$ がモアルループ空間関手 $\Omega'$ に対して左随伴となるか。
• RQ2 局所化された $\mathcal{M}on$ がホモトピー同値なホモトピー準同型写像の類からなるようにするための、適切なホモトピー準同型写像の概念は何か。
• RQ3 $B$ と $\Omega'$ の間の随伴が図式へと持ち上げられるか。その結果、ホモトピー余極限と定数図式関手の導来随伴が生じるか。
• RQ4 このホモトピー随伴を用いて、群完備化定理をより代数的な形に再定式化できるか。
• RQ5 クラスファイイング空間関手は、自然なホモトピー同値な写像を除いてホモトピー余極限を保存するか。

主な発見

• クラスファイイング空間関手 $B: \mathcal{M}on \to \mathcal{T}\!op^*$ は、底付き写像がホモトピー同値であるものとし、$\mathcal{T}\!op^*$ はすべてのホモトピー同値を対象とする局所化の下で、モアルループ空間関手 $\Omega'$ に対して左随伴である。
• 局所化された $\mathcal{M}on$ は、モノイドとホモトピー同値なホモトピー準同型写像の類からなるカテゴリと同値であり、一貫性を保つためにホモトピー準同型写像の定義を修正する必要がある。
• 良好な点を持つモノイドのカテゴリと良好な点を持つ空間のカテゴリの間で、ホモトピーの意味での随伴が存在し、これは図式へと持ち上げられる。
• この持ち上げは、ホモトピー類をとる前の段階でホモトピーの意味での随伴から導出されるホモトピー余極限と定数図式関手の導来随伴が生じることを示唆する。
• クラスファイイング空間関手はホモトピー余極限を自然なホモトピー同値な写像を除いて保存する：自然な写像 $\mathop{\rm hocolim}\nolimits^{{\mathcal{T}\!op}^*} BD \to B(\mathop{\rm hocolim}\nolimits^{\mathcal{M}on} D)$ はホモトピー同値である。
• ホモトピー随伴と $B$ がホモトピー余極限を保存することの結果として、群完備化定理の代数的版が導出される。