[論文レビュー] Homotopy properties of endpoint maps and a theorem of Serre in subriemannian geometry

Francesco Boarotto, Antonio Lerario|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$1 < p < p_c$ において、$W^{1,p}$位相のもとでアフィン制御系における終点写像がホイッティッチ層構造をなすことを確立している。特に、$X_0 = 0$ の下でサブリーマン幾何学的状況では $p_c = \infty$ となる。コンパクトな基底多様体上で、幾何的コスト関数の臨界点の数が無限個であることを示しており、これはセレの定理（コンパクトリーマン多様体上での無限個の測地線）をサブリーマン幾何学へ拡張したものである。また、$W^{1,2}$位相における水平ループ空間がCW複体のホモトピー型をもつことを示している。

ABSTRACT

We discuss homotopy properties of endpoint maps for affine control systems. We prove that these maps are Hurewicz fibrations with respect to some $W^{1,p}$ topology on the space of trajectories, for a certain $p&gt;1$. We study critical points of geometric costs for these affine control systems, proving that if the base manifold is compact then the number of their critical points is infinite (we use Lusternik-Schnirelmann category combined with the Hurewicz property). In the special case where the control system is subriemannian this result can be read as the corresponding version of Serre's theorem, on the existence of infinitely many geodesics between two points on a compact riemannian manifold. In the subriemannian case we show that the Hurewicz property holds for all $p\geq1$ and the horizontal-loop space with the $W^{1,2}$ topology has the homotopy type of a CW-complex (as long as the endpoint map has at least one regular value); in particular the inclusion of the horizontal-loop space in the ordinary one is a homotopy equivalence.

研究の動機と目的

• アフィン制御系における終点写像のホモトピー的性質を $W^{1,p}$ 位相のもとで確立すること。
• コンパクトリーマン多様体上で無限個の測地線が存在することを示すセレの古典的結果を、サブリーマン設定へ拡張すること。
• ルステルニク＝シュニレルマンカテゴリーとホイッティッチ層構造を用いて、水平経路空間およびループ空間の位相を分析すること。
• サブリーマン状況において、$W^{1,2}$ 位相のもとで水平ループ空間を全ループ空間に含める埋め込みがホモトピー同値であることを示すこと。
• 制御系の構造に応じて変化する、ホイッティッチ層構造の正則性閾値 $p_c$ を特定すること。

提案手法

• 制御関数 $u = (u_1, ..., u_d) \in L^p([0,1], \mathbb{R}^d)$ の空間に $W^{1,p}$ 位相を導入し、水平軌道の空間にバナッハ多様体構造を与えること。
• 終点写像 $F: \Omega \to M$, $\gamma \mapsto \gamma(1)$ が $1 \leq p < p_c$ に対してホイッティッチ層構造であることを、ホモトピー上昇性質を用いて証明すること。
• 陰関数定理と変分方程式による終点写像の線形化を用いて、$F$ の $C^1$-微分可能性を示すこと。
• 制御の $L^p$-ノルムを用いて幾何的コストを定義し、ルステルニク＝シュニレルマンカテゴリーを用いてその臨界点を分析すること。
• モノドロミー行列 $N_{u_n} \to N_u$ の一様収束性と、弱 $L^p$ 収束のもとでの微分 $d_uF$ の連続性を確立すること。
• ベクトル場の滑らかさと軌道のコンパクト性を活用し、2次変分およびフローの摂動に関する一様推定を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 軌道空間上のどのような位相のもとで、終点写像がホイッティッチ層構造をなすか？
• RQ2 アフィン制御系におけるホイッティッチ層構造の臨界正則性閾値 $p_c$ は何か？
• RQ3 サブリーマン状況（$X_0 = 0$）では、すべての $p \geq 1$ に対してホイッティッチ層構造が成り立つか？
• RQ4 ルステルニク＝シュニレルマンカテゴリーを用いて、コンパクト多様体上での幾何的コスト関数の無限個の臨界点の存在を証明できるか？
• RQ5 サブリーマン状況において、$W^{1,2}$ 位相のもとで水平ループ空間を全ループ空間に含める埋め込みがホモトピー同値であるか？

主な発見

• 終点写像 $F: \Omega \to M$ は、$1 \leq p < p_c$ に対して常にホイッティッチ層構造をなす。ここで $p_c > 1$ は制御系 $\mathcal{F}$ に依存する。
• サブリーマン状況（$X_0 = 0$）では、すべての $1 \leq p < \infty$ に対して終点写像がホイッティッチ層構造をなす。つまり $p_c = \infty$ である。
• コンパクトな基底多様体上で、幾何的コスト関数の臨界点の数は無限個である。これはホイッティッチ層構造とルステルニク＝シュニレルマンカテゴリーを組み合わせることで示された。
• 水平ループ空間が $W^{1,2}$ 位相を備える場合、少なくとも1つの正則値が存在する限り、CW複体のホモトピー型をもつ。
• サブリーマン状況において、$W^{1,2}$ 位相のもとで水平ループ空間を全ループ空間に含める埋め込みはホモトピー同値である。
• 制御関数の弱 $L^p$ 収束のもとで、終点写像の微分 $d_uF$ は連続であり、$p > 1$ のとき $F$ は $W^{1,p}$ 上で $C^1$-微分可能である。