[論文レビュー] Homotopy properties of spaces of smooth functions on 2-torus

Sergiy Maksymenko, Bogdan Feshchenko|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2次元トーラス上の滑らかな関数の軌道の基本群が $ \pi_1\mathcal{O}(f) \cong \mathbb{Z}^2 \times \pi_0\mathcal{S}'(f)$ と分解する十分条件を確立している。ここで $ \mathcal{S}'(f)$ は微分同相群の単位成分との交差である安定化群である。この結果は、臨界点における局所的ジェルムが重複因子を持たない同次多項式と滑らかに同値である関数に対して成り立ち、モース関数の一般化である。

ABSTRACT

Let $f:T^2 o\mathbb{R}$ be a Morse function on a 2-torus, $\mathcal{S}(f)$ and $\mathcal{O}(f)$ be its stabilizer and orbit with respect to the right action of the group $\mathcal{D}(T^2)$ of diffeomorphisms of $T^2$, $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ be the identity path component of $\mathcal{D}(T^2)$, and $\mathcal{S}'(f) = \mathcal{S}(f) \cap \mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$. We give sufficient conditions under which $$ π_1\mathcal{O}_f(f) \ \cong \ π_1\mathcal{D}(T^2) imes π_0 \mathcal{S}'(f) \ \equiv \ \mathbb{Z}^2 imes π_0 \mathcal{S}'(f).$$ In fact this result holds for a larger class of smooth functions $f:T^2 o\mathbb{R}$ having the following property: for every critical point $z$ of $f$ the germ of $f$ at $z$ is smothly equivalent to a homogeneous polynomial $\mathbb{R}^2 o \mathbb{R}$ without multiple factors.

研究の動機と目的

• 滑らかな関数 $f: T^2 \to \mathbb{R}$ の軌道 $\mathcal{O}(f)$ の基本群が、積 $\pi_1\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2) \times \pi_0\mathcal{S}'(f)$ に分解する条件を特定すること。
• モース関数に制限された既知の軌道空間のホモトピー型に関する結果を、特定の局所的特異点型を持つより広いクラスの滑らかな関数へと拡張すること。
• 安定化群 $\mathcal{S}(f)$ の Kronrod-Reeb 図形 $\Gamma(f)$ への作用を分析し、臨界レベル集合を保存するホモトピーを構成すること。
• 特定の条件下で、$\mathcal{S}'(f)$ 内のループが $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 内でホモトピー的に自明であることを証明し、軌道の基本群の分解を可能にすること。

提案手法

• 微分同相群 $\mathcal{D}(T^2)$ に強いホイットニー $C^\infty$ 位相を導入し、それにより誘導される軌道および安定化群の位相を用いる。
• 関数 $f \in \mathcal{F}(T^2, \mathbb{R})$ に対して、$p(h) = f \circ h$ で定義される写像 $p: \mathcal{D}(T^2) \to \mathcal{O}(f)$ がセレーホコロジーであることを応用する。
• ホコロジーの基本群の完全列を用いて、$\pi_1\mathcal{O}_f(f)$ を $\pi_1\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ と $\pi_0\mathcal{S}'(f)$ を通じて解析する。
• 安定化群 $\mathcal{S}(f)$ の Kronrod-Reeb 図形 $\Gamma(f)$ への作用を活用し、臨界成分の近傍における微分同相の局所的挙動を研究する。
• 結果 [8, 定理 7.1] および [8, レムマ 6.4, 4.14] を用いて、臨界レベル集合の近傍を固定し、図形構造を保存する $\mathcal{S}'(f)$ 内の明示的ホモトピー $g_t$ を構成する。
• 2次元トーラス $T^2$ と $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ の間のホモトピー同値性を用い、微分同相群内のループのホモトピー的自明性を2次元トーラス内のループのホモトピー的自明性に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな関数 $f: T^2 \to \mathbb{R}$ の軌道 $\mathcal{O}(f)$ の基本群が $\mathbb{Z}^2 \times \pi_0\mathcal{S}'(f)$ と分解する条件は何か？
• RQ2 安定化群 $\mathcal{S}(f)$ の Kronrod-Reeb 図形 $\Gamma(f)$ への作用が、軌道 $\mathcal{O}(f)$ のホモトピー型に与える影響は何か？
• RQ3 $\mathcal{S}'(f)$ 内のループが $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 内でホモトピー的に自明であるのはいつか？ これにより $\pi_1\mathcal{O}_f(f)$ の分解が可能になる。
• RQ4 臨界点における関数 $f$ の局所的ジェルム構造 — 特に重複因子を持たない同次多項式と滑らかに同値である場合 — が、軌道のホモトピー型を決定づける役割を果たすのはどのような場合か？

主な発見

• 関数 $f$ が 2次元トーラス $T^2$ 上の滑らかな関数であり、各臨界点におけるジェルムが重複因子を持たない同次多項式と滑らかに同値であるならば、軌道 $\mathcal{O}_f(f)$ の基本群は $\pi_1\mathcal{O}_f(f) \cong \mathbb{Z}^2 \times \pi_0\mathcal{S}'(f)$ を満たす。
• このような関数に対して、安定化群 $\mathcal{S}_{\mathrm{id}}(f)$ は収縮可能であるため、ホモトピー群の完全列を用いた分析が可能になる。
• 任意の $h \in \mathcal{S}'(f)$ が $\Gamma(f)$ の頂点のスターバイグラフ上で自明に作用するとき、$g_0 = h$、$g_1$ が対応する臨界成分の近傍で固定され、すべての $t$ に対して $\rho(g_t) = \mathrm{id}$ となる $\mathcal{S}'(f)$ 内のホモトピー $g_t$ が存在する。
• 固定された単純閉曲線 $C$ を保存する任意の2つの経路 $\{h_t\}$ および $\{h_t'\}$ が同じ端点条件を満たす限り、それらは端点を固定するホモトピーに関して同値である。
• $\omega = \alpha \beta^{-1}$ を $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 内のループとする。このとき、関連する $T^2$ 内のループ $\omega_q$ がホモトピー的に自明であれば、$T^2$ と $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ の間のホモトピー同値性により、$\omega$ も $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 内でホモトピー的に自明である。
• $s: \mathcal{S}'(f) \to \pi_1\mathcal{O}_f(f)$ を $s(h) = [\{f \circ h_t\}]$ で定義する。この写像は $s(h \circ h') = s(h) \circ s(h')$ を満たす群準同型であり、軌道の基本群の群構造が確認される。