[論文レビュー] Homotopy Theoretic Classification of Symmetry Protected Phases

Jonathan A. Campbell|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、特に $MT\text{Pin}^-$、$MT\text{Pin}^+$、および $M(\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n)$ などの新しいコボルディズムスペクトルの低次元ホモトピー群を計算することにより、コボルディズム理論から導かれるスペクトルを用いて、対称性保護型トポロジカルな物質相（SPT）をホモトピー論的に分類する。物理的分類結果を代数的トポロジーによって確認し、物理的計算と整合するきめ細やかな数学的枠組みを提供することで、物性物理学におけるコボルディズム仮説の妥当性を裏付ける。

ABSTRACT

We classify a number of symmetry protected phases using Freed-Hopkins' homotopy theoretic classification. Along the way we compute the low-dimensional homotopy groups of a number of novel cobordism spectra.

研究の動機と目的

• ホモトピー論を用いて、対称性保護型トポロジカルな物質相（SPT）を数学的に厳密に分類すること。
• さまざまな対称性群を有する物理系に関連する、新しいコボルディズムスペクトルの低次元ホモトピー群を計算すること。
• コボルディズム仮説を用いたホモトピー論的分類が、既知の物理的分類と一致することを検証すること。
• フレッド＝フープキンの枠組みを、特に $\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n$ 構造を含むフェルミオン系および時間反転対称系に拡張すること。
• コボルディズム類の多様体代表の物理的意義を検討すること。現状、ほとんどの場合、その代表が不明である。

提案手法

• 可逆的トポロジカル量子場理論（TQFT）を、$MTG(n)$ から $\Sigma^{n+1}I_{\mathbb{Z}}$ へのスペクトル写像としてモデル化するため、コボルディズム仮説を用いる。ここで $I_{\mathbb{Z}}$ は球体スペクトルのアンドリソン双対である。
• アダムズスペクトル系列を用いて、$MT\text{Pin}^\pm$、$MT\text{Pin}^{\tilde{c}\pm}$、および $M(\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n)$ などのコボルディズムスペクトルのホモトピー群を計算する。
• チム同型と mod 2 コホモロジー上の $\mathcal{A}(1)$-加群構造を用い、スペクトル系列の $E_2$-頁を解析する。
• メイ＝ミルガムの定理を用いて、アダムズスペクトル系列における微分を同定し、特に $d_n$ を $2^n$-ボクスタイン作用素として特定する。
• 分類空間からの引き戻しを用いてチムスペクトルを構成する。例えば、$M(\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n) \simeq M\text{Spin} \wedge (B\mathbb{Z}/2^{n-1})^{2\xi}$ である。
• 物理的分類と照合することで結果を検証し、物理的モデルに依存せずに正確に一致することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして安定ホモトピー論とコボルディズムスペクトルを用いて、対称性保護型トポロジカルな物質相を分類できるか？
• RQ2 $MT\text{Pin}^-$、$MT\text{Pin}^+$、および物理的対称性群に関連するスペクトルの低次元ホモトピー群は何か？
• RQ3 可逆的TQFTのホモトピー論的分類が、既知の物理的SPT分類をどの程度正確に再現するか？
• RQ4 アダムズスペクトル系列は、$\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n$ のような群拡張から生じる異方的コボルディズムスペクトルのホモトピー群を効果的に計算できるか？
• RQ5 異なる手法を用いているにもかかわらず、ホモトピー論的手法の結果が物理的格子模型計算の結果と正確に一致するのはなぜか？

主な発見

• $MT\text{Pin}^-$ のホモトピー群は $\pi_0 = \mathbb{Z}/2$、$\pi_1 = 0$、$\pi_2 = \mathbb{Z}/2$、$\pi_3 = \mathbb{Z}/16$、$\pi_4 = 0$、$\pi_5 = 0$ であり、既知の物理的結果と一致する。
• $MT\text{Pin}^+$ の群は $\pi_0 = \mathbb{Z}/2$、$\pi_1 = \mathbb{Z}/2$、$\pi_2 = \mathbb{Z}/8$、$\pi_3 = 0$、$\pi_4 = 0$、$\pi_5 = 0$ であり、物理的分類を確認する。
• $M(\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n)$ は $\pi_0 = \mathbb{Z}$、$\pi_1 = \mathbb{Z}/2^n$、$\pi_2 = 0$、$\pi_3 = \mathbb{Z}/2^{n-2}$、$\pi_4 = \mathbb{Z}$、$\pi_5 = \mathbb{Z}/16$（$n \geq 3$）であり、アダムズスペクトル系列による明示的計算がなされた。
• $U(1)$ 対称性を有するボソン系の $d+1$ 次元におけるSPT分類は $[MSO \wedge \mathbb{C}P^\infty_+, \Sigma^{n+1}I_{\mathbb{Z}}]$ で与えられ、$\pi_0 = \mathbb{Z}$、$\pi_1 = 0$、$\pi_2 = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$、$\pi_3 = 0$、$\pi_4 = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2$ を得る。
• 時間反転対称性を有する系では、$[MO, \Sigma^{n+1}I_{\mathbb{Z}}]$ を用いた分類により $\pi_0 = 0$、$\pi_1 = \mathbb{Z}/2$、$\pi_2 = 0$、$\pi_3 = (\mathbb{Z}/2)^2$、$\pi_4 = \mathbb{Z}/2$ となり、物理的期待と一致する。
• $3+1$ 次元における $\mathbb{Z}/2$ 対称性を有するフェルミオン系では、$[M\text{Spin} \wedge B\mathbb{Z}/2_+, \Sigma^5 I_{\mathbb{Z}}] = 0$ であるため、分類は自明であり、非自明なSPT相は存在しない。