[論文レビュー] Homotopy theory for algebras over polynomial monads

Michael Batanin, Clemens Berger|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 51被引用数 61

ひとこと要約

この論文は、モノイダルモデル圏における多項式モノイドに対する代数の上に転送されたモデル構造を構築する一般枠組みを確立し、モノイドが「なめらか」である場合には存在および相対的左固有性を証明する。主な貢献は、モノイドの成分の圏が終対象をもつ圏の直和であるという組合せ的条件に基づくもので、この条件により、オペラッド、モノイド、および関連構造における必要なホモトピー的性質が保証される。

ABSTRACT

We study the existence and left properness of transferred model structures for "monoid-like" objects in monoidal model categories. These include genuine monoids, but also all kinds of operads as for instance symmetric, cyclic, modular, higher operads, properads and PROP's. All these structures can be realised as algebras over polynomial monads. We give a general condition for a polynomial monad which ensures the existence and (relative) left properness of a transferred model structure for its algebras. This condition is of a combinatorial nature and singles out a special class of polynomial monads which we call tame polynomial. Many important monads are shown to be tame polynomial.

研究の動機と目的

• n-オペラッドおよび高次圏的構造における安定化仮説の基礎的ホモトピー論的問題を解決すること。
• オペラッドおよび関連代数的構造の転送されたモデル構造における左固有性の検証の難しさに対処すること。
• シュウェーデ＝シップルのコフェイブルリプレースメント技法をモノイドを超えて多項式モノイドの代数へ一般化すること。
• 存在性および左固有性を保証する組合せ的条件「なめらかさ」を同定すること。
• 対称的・非対称的・循環的・モジュラー的・高次オペラッドのためのモデル構造に関する既存結果を統合・拡張すること。

提案手法

• 張り子の（非自明な）コフェイブルのテンソル積が（非自明な）h-コフェイブルをもたらすようなh-モノイダルモデル圏の概念を導入する。
• 有限集合と写像のデータによって多項式モノイドを定義し、その関連圏における組合せ的条件を用いて「なめらかな多項式モノイド」の概念を定義する。
• なめらかな多項式モノイドTに関するT代数の半自由直和に対して関手的な「多項式展開」を構成する。
• このような展開の存在を用いて、転送されたモデル構造におけるモノイド公理および相対的左固有性を確立する。
• 2-モノイド論の2-圏的技法を用いて自由代数拡大およびそのホモトピー的性質を分析する。
• カテゴリー的グラフ、ジョンソン＝ヨーのグラフ、ジョイアル＝ストリートの位相的グラフの間の全単射を確立し、モノイドの組合せ的構造に幾何的解釈を与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式モノイドの代数の上に転送されたモデル構造が存在する条件は何か？
• RQ2 このような転送されたモデル構造が相対的に左固有であるのはいつか？
• RQ3 多項式モノイドのどの組合せ的性質がその代数の良好なホモトピー的性質を保証するか？
• RQ4 シュウェーデ＝シップル風のコフェイブルリプレースメント技法をモノイドを超えてオペラッドや高次構造へどのように一般化できるか？
• RQ5 h-コフェイブルおよびh-モノイダルモデル圏は、転送において左固有性をどのように保証するか？

主な発見

• 多項式モノイドがなめらかであるとは、その関連する成分の圏が終対象をもつ圏の直和である場合を指す。
• 任意のなめらかな多項式モノイドTに対して、T代数の上に転送されたモデル構造が存在し、相対的に左固有である。
• 半自由直和T代数に対する関手的多項式展開の存在は、Tのなめらかさと同値である。
• この構成は、ムーロの非対称オペラッド拡大に関する結果を回復し、一般化する。
• h-モノイダル条件はモノイド公理を保証し、転送されたモデル構造の相対的左固有性を示唆する。
• カテゴリー的グラフの幾何的実現は、境界をもつジョイアル＝ストリートのグラフと全単射をなす。これにより、本論文で用いられたカテゴリー的グラフモデルの正当性が裏付けられる。