[論文レビュー] Homotopy theory of bundles with fiber matrix algebra

А. В. Ершов|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$k,l$ が互いに素であるとき、$M_k(\mathbb{C})$ をファイバーとする局所的に自明なバンドルと、$M_{kl}(\mathbb{C})$ への埋め込みを備えたものについて、安定ホモトピー理論を構築する。この理論は、$\widetilde{\rm AB}^1$ と呼ばれるホモトピー函手を構成し、これが還元された $\rm KSU$-理論の乗法的群と同型であることを示す。これにより、$\rm BSU$ 上の $H$-空間構造 $\rm BSU_\otimes$ が、行列代数バンドルのテンソル積を用いて幾何的に実現される。

ABSTRACT

In the present paper we consider a special class of locally trivial bundles with fiber a matrix algebra. On the set of such bundles over a finite $CW$-complex we define a relevant equivalence relation. The obtained stable theory gives us a geometric description of the H-space structure $\BSU_\otimes$ on $\BSU$ related to the tensor product of virtual $\SU$-bundles of virtual dimension 1.

研究の動機と目的

• $M_k(\mathbb{C})$ をファイバーとする局所的に自明なバンドルと、$k,l$ が互いに素であるとき $M_{kl}(\mathbb{C})$ への指定された埋め込みを備えたものについて、安定ホモトピー理論を構築すること。
• このようなバンドルに対して、$K$-理論における安定同値と類似した安定同値関係を定義し、行列グラスマンニアン $\rm Gr_{k,l}$ の直接極限として分類空間を構成すること。
• $\rm BSU$ 上の $H$-空間構造 $\rm BSU_\otimes$ を、これらのバンドルを用いて幾何的に記述すること。
• 得られるホモトピー函手 $\widetilde{\rm AB}^1$ が、還元された $\rm KSU$-函手の乗法的群と同型であることを示すこと。
• この構成を $\rm GL$-版に拡張し、$\widehat{\rm Gr}$ と $\rm BU_\otimes$、および $\widetilde{\rm K}_{\mathbb{C}}$-理論の乗法的群との関係を明らかにすること。

提案手法

• 有限な $CW$-複体 $X$ 上のバンドル $A_k$ の圏 $\mathfrak{FAB}(X)$ を導入する。ここで $A_k$ のファイバーは $M_k(\mathbb{C})$ であり、$M_{kl}$ へのバンドル写像 $\mu: A_k \to \widetilde{M}_{kl}$ が備わっている。
• 互いに素な $k,l$ に対して、$M_{kl}(\mathbb{C})$ 内の $M_k(\mathbb{C})$ に同型な部分代数をパラメトライズする同次空間 $\rm Gr_{k,l}$ を定義する。
• 直接極限 $\lim_{\to\atop{(k,l)=1}} \rm Gr_{k,l}$ を用いた安定化プロセスを構成し、このようなバンドルの安定同値類に対する分類空間を導出する。
• 圏 $\mathfrak{FAB}(X)$ 上に、$K$-理論における安定同値と類似した安定同値関係を定義し、$\widetilde{\rm AB}^1(X)$ を安定同値類の集合として定義する。
• $\rm GL$-版においてホモトピー群を解析するため、チャーン類の計算を用い、$\widehat{\lambda}_{k,\ell*}$ が $\pi_{2r}$ 上で乗法 $k$ を引き起こすことを示し、$k$ を中心に局所化されることを示す。
• $\widehat{\rm Gr} \cong \rm Gr \times \mathbb{C}P^\infty$ および $\widehat{\rm Gr} \cong \rm BU_\otimes$ を $H$-空間としての同型として確立し、この構成を乗法的 $K$-理論と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列代数バンドル $M_k(\mathbb{C})$ をファイバーとし、$k,l$ が互いに素であるとき $M_{kl}(\mathbb{C})$ への埋め込みを備えたものについて、どのように安定ホモトピー理論を構築できるか？
• RQ2 このようなバンドルの安定同値類に対する分類空間は何か？また、$\rm Gr_{k,l}$ の直接極限とどのように関係するか？
• RQ3 $\rm BSU$ 上の $H$-空間構造 $\rm BSU_\otimes$ は、これらの行列代数バンドルのテンソル積を用いて幾何的に実現可能か？
• RQ4 得られるホモトピー函手 $\widetilde{\rm AB}^1$ は、還元された $\rm KSU$-函手の乗法的群と同型か？
• RQ5 $\rm GL$-版の構成と、$\widetilde{\rm K}_{\mathbb{C}}$-理論の乗法的群との関係は何か？

主な発見

• $k,l$ が互いに素であるとき、$M_k(\mathbb{C})$-バンドルと $M_{kl}(\mathbb{C})$ への埋め込みの安定同値類は、直接極限 $\lim_{\to\atop{(k,l)=1}} \rm Gr_{k,l}$ によって分類され、これは $\widetilde{\rm AB}^1$ の分類空間として機能する。
• $\widetilde{\rm AB}^1$ のホモトピー函手は、還元された $\rm KSU$-函手の乗法的群と同型であり、群演算は $\xi * \eta = \xi + \eta + \xi\eta$ で与えられる。
• $\rm BSU$ 上の $H$-空間構造 $\rm BSU_\otimes$ は、これらの行列代数バンドルのテンソル積を用いて幾何的に実現され、明確なバンドル論的モデルが得られる。
• $\rm GL$-版の構成により、空間 $\widehat{\rm Gr} = \lim_{\to\atop{(k,l)=1}} \widehat{\rm Gr}_{k,l}$ が得られ、これは $H$-空間として $\rm BU_\otimes$ と同型であり、$\widetilde{\rm K}_{\mathbb{C}}$-理論の乗法的群を表す。
• $\pi_{2r}$ 上での写像 $\widehat{\lambda}_{k,\ell*}$ は乗法 $k$ を引き起こし、$\widehat{\rm Gr}$ が $\mathbb{Z}[1/k]$-局所化であることを示し、$\widehat{\rm Gr} \cong \rm Gr \times \mathbb{C}P^\infty$ は $H$-空間として同型である。
• 逆バンドルのチャーン類は、$\widetilde{c}_i$ を用いた再帰的公式により計算され、例えば $\widetilde{c}_1(A_k)^{-1} = 1 - \widetilde{c}_1(A_k) + \widetilde{c}_2(A_k) - \cdots$ のように表され、高次類についても同様に得られる。