[論文レビュー] Homotopy theory of homotopy algebras

Bruno Vallette|Nov 20, 2014

Advanced Topics in Algebra被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、dg ${\mathcal{P}}^{!}$-コボル代数のカテゴリに、dg ${\mathcal{P}}$-代数とクィルレン同値である新しいモデルカテゴリ構造を確立する。この構造では、すべての対象がコクリエイティブであり、ファイブレーション対象はちょうど準自由なものに一致する。オペラッド的計算と洗練された弱同値の概念を用いて、${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数の無限大同型を通じたホモトピー理論を提供し、ホモトピー圏の完全かつ関手的な記述と、ホモトピー代数における無限大圏構造をもたらす。

ABSTRACT

This paper studies the homotopy theory of algebras and homotopy algebras over an operad. It provides an exhaustive description of their higher homotopical properties using the more general notion of morphisms called infinity-morphisms. The method consists in using the operadic calculus to endow the category of coalgebras over the Koszul dual cooperad or the bar construction with a new type of model category structure, Quillen equivalent to that of algebras. We provide an explicit homotopy equivalence for infinity-morphisms, which gives a simple description of the homotopy category, and we endow the category of homotopy algebras with an infinity-category structure.

研究の動機と目的

• オペラッド ${\mathcal{P}}$ の代数のためのホモトピー理論を、連結性の仮定に依存しない形で開発すること。
• 古典的意味でのコバーファンクターが準同形を保存しない問題を、コボル代数上に新たな弱同値のクラスを導入することで解決すること。
• ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数のホモトピー圏を無限大同型を用いて関手的かつ明示的な記述すること。
• コクスズル双対コオペラッドまたはバー構成を用いた新しいモデルカテゴリにより、ホモトピー代数のカテゴリに整合性のとれた無限大圏構造を与えること。
• $(\infty,1)$-圏のジョイアル–ルリーフレームワークを、単体的集合の代わりに ${\mathcal{P}}^{!}$-コボル代数を用いることで、オペラッド的設定に一般化すること。

提案手法

• コクリエイティブなdg ${\mathcal{P}}^{!}$-コボル代数のカテゴリに、弱同値が準同形に厳密に含まれる新しいモデルカテゴリ構造を構成する。
• 文献[LV12, 第10–11章]のオペラッド的計算を用いて、オペラッドのバー構成とカスズル双対性を定義し分析する。
• 無限大同型を、新しいモデルカテゴリ内の準同形として定義し、${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数間の同型のホモトピー的整合バージョンを実現する。
• バー構成とコボル代数の積にフィルトレーションを導入し、スペクトル系列を分析して、重要な写像（例：$\mathrm{id} \times \mathrm{gr}(\upsilon_{\kappa}D)$）が準同形であることを証明する。
• 誘導されたフィルトレーションのスペクトル系列を比較することで、積 $\mathrm{B}_{\kappa}K \times D$ 上の恒等写像がフィルター付き準同形であることを証明する。
• スペクトル系列の収束性とフィルトレーションの有界性を用いて、写像 $\mathrm{id} \times \upsilon_{\kappa}D$ が新しいモデル構造における弱同値であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オペラッド ${\mathcal{P}}$ の代数のためのホモトピー理論を、連結性の仮定に依存せずに定義する方法は何か？
• RQ2 ${\mathcal{P}}^{!}$-コボル代数上で、コバーファンクターがdg ${\mathcal{P}}$-代数とクィルレン同値を誘導するような、正しい弱同値のクラスは何か？
• RQ3 ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数間の無限大同型に、関手的かつ明示的なホモトピー的記述を与えることは可能か？
• RQ4 新しい ${\mathcal{P}}^{!}$-コボル代数上のモデルカテゴリは、ジョイアル–ルリーティーリーの$(\infty,1)$-圏理論とどのように関係するか？
• RQ5 ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数のホモトピー圏の構造は何か？ そして、ファイブレーション・コクリエイティブ対象の部分カテゴリを用いて、どのように記述できるか？

主な発見

• コクリエイティブなdg ${\mathcal{P}}^{!}$-コボル代数のカテゴリは、dg ${\mathcal{P}}$-代数とクィルレン同値なモデルカテゴリ構造を備え、すべての対象がコクリエイティブであり、ファイブレーション対象はちょうど準自由なものに一致する。
• ${\mathcal{P}}^{!}$-コボル代数上の新しい弱同値は、準同形のクラスに厳密に含まれており、これによりコバーファンクターが弱同値を保存し、クィルレン同値を誘導することが保証される。
• ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数間の無限大同型は、新しいモデルカテゴリ内の準同形として実現され、普遍的かつ関手的なホモトピー的関係を提供する。
• $\mathrm{B}_{\kappa}K \times D$ および $\mathrm{B}_{\kappa}K \times \mathrm{B}_{\kappa}\Omega_{\kappa}D$ のフィルトレーションのスペクトル系列の分析により、$\mathrm{id} \times \upsilon_{\kappa}D$ がフィルター付き準同形であることが示され、したがって新しいモデル構造における弱同値であることがわかる。
• ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数のホモトピー圏は、新しいモデルカテゴリにおけるファイブレーション・コクリエイティブ対象の全部分圏と同値であり、完全かつ明示的な記述が可能である。
• ホモトピー代数のカテゴリは、新しい ${\mathcal{P}}^{!}$-コボル代数上のモデルカテゴリを通じて自然な無限大圏構造を備え、ファイブレーション対象は ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数に対応し、準同形は無限大同型に対応する。