[論文レビュー] Homotopy Theory of Probability Spaces I: Classical independence and homotopy Lie algebras

Jae-Suk Park|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$sL_{\nu}$-代数と無限型準同型を用いて、ホモトピー的一般化としてのホモトピー確率空間を導入し、確率法則をホモトピー型の不変量として再解釈する。主な貢献は、形式的モジュライ空間上のアフィン接続を介してモーメント母関数を記述する形式的微分方程式系の構築であり、古典的中心極限定理を保存するとともに、確率論における新たな計算的ツールを可能にする。

ABSTRACT

This is the first installment of a series of papers whose aim is to lay a foundation for homotopy probability theory by establishing its basic principles and practices. The notion of a homotopy probability space is an enrichment of the notion of an algebraic probability space with ideas from algebraic homotopy theory. This enrichment uses a characterization of the laws of random variables in a probability space in terms of symmetries of the expectation. The laws of random variables are reinterpreted as invariants of the homotopy types of infinity morphisms between certain homotopy algebras. The relevant category of homotopy algebras is determined by the appropriate notion of independence for the underlying probability theory. This theory will be both a natural generalization and an effective computational tool for the study of classical algebraic probability spaces, while keeping the same central limit. This article is focused on the commutative case, where the laws of random variables are also described in terms of certain affinely flat structures on the formal moduli space of a naturally defined family attached to the given algebraic probability space. Non-commutative probability theories will be the main subject of the sequels. (This work is a spin-off from the author's program to characterize path integrals of quantum field theory in terms of the symmetries of the quantum expectation which should satisfy a certain coherence with a particular weight filtration generated by the Planck constant $\hbar$. A similar idea is adopted here in a simplified form, without the $\hbar$-conditions, and, in return, many results in this paper will be used as background materials in the forthcoming work on homotopy theory of quantum fields).

研究の動機と目的

• 古典的代数的確率空間に代数的ホモトピー理論を組み合わせることで、ホモトピー確率理論の基礎的枠組みを構築すること。
• 確率変数の法則を、$sL_{\nu}$-代数間の無限型準同型のホモトピー型の不変量として再解釈すること。
• 古典的中心極限定理を保存しつつ、古典的確率論をホモトピー的設定へ一般化すること。
• ホモトピー確率代数のモジュライ空間に、アフィン平坦接続としての形式的幾何的構造を構築すること。
• 今後の論文で非可換ホモトピー確率理論を展開する基盤を築くこと。

提案手法

• 確率変数とその相関をモデル化するためのホモトピー的代数的枠組みとして、卣単位元を有する $sL_{\nu}$-代数を用いる。
• ホモトピー確率空間を $sL_{\nu}$-準同型を介して定義し、これらの準同型のホモトピー型から相関関数を導出する。
• 乗法および高階相関をエンコードする $(2,1)$-テンソルを表す形式的級数 $A^{\bullet}_{\beta\beta}{}^{\rho}$ を導入する。
• 1-テンソル $T_{\bullet}^{\rho}$ を含む形式的微分方程式系の解として、モーメント母関数 $Z_{{\bm{\nabla}}^{\bullet}}$ を構成する。
• Maurer–Cartan理論と形式的幾何学を用いて、ホモトピー確率代数のモジュライ空間をアフィン平坦なスーパemanifoldとして記述する。
• 微分方程式系 $(\partial_{\alpha}\partial_{\beta} - \sum_{\gamma} A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma} \partial_{\gamma})Z = 0$ および $(\partial_0 - 1)Z = 0$ を導出し、これによりモーメント母関数を支配する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的確率法則は、代数的トポロジーにおける無限型準同型のホモトピー型の不変量としてどのように再解釈可能か？
• RQ2 $sL_{\infty}$-代数は、ホモトピー的設定下で確率変数の積率およびモーメント構造をどのようにエンコードするか？
• RQ3 ホモトピー確率代数の形式的モジュライ空間上のアフィン平坦構造は、相関関数の幾何にどのように反映されるか？
• RQ4 このホモトピー的一般化された確率空間において、中心極限定理は保存可能か？
• RQ5 有限次元スーパーセレクション領域におけるホモトピカルな確率変数の空間の正確な代数的・幾何的構造は何か？

主な発見

• 有限次元スーパーセレクション領域におけるモーメント母関数 $Z_{{\bm{\nabla}}^{\bullet}}$ は、1-テンソル $\{T_{\bullet}^{\gamma}\}$ と期待値 $\{\iota^{{\bm{\nabla}}_{\bullet}}(e_{\gamma})\}$ によって完全に決定され、$\iota^{{\bm{\nabla}}_{\bullet}}(e_0) = 1$ を満たす。
• 微分方程式系 $(\partial_{\alpha}\partial_{\beta} - \sum_{\gamma} A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma} \partial_{\gamma})Z = 0$ および $(\partial_0 - 1)Z = 0$ がモーメント母関数を支配し、$A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma}$ テンソルによってすべての同時モーメントがエンコードされる。
• $A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma}$ テンソルは、次のようにグレーディング対称性を満たす：$A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma} = (-1)^{|e_{\alpha}||e_{\beta}|} A^{\bullet}_{\beta\alpha}{}^{\gamma}$、これはグレーディング可換性を反映している。
• $A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma}$ テンソルは、一般化されたジャコビ型恒等式を満たす：$\partial_{\alpha}A^{\bullet}_{\beta\gamma}{}^{\sigma} - (-1)^{|e_{\alpha}||e_{\beta}|}\partial_{\beta}A^{\bullet}_{\alpha\gamma}{}^{\sigma} + \sum_{\rho} (A^{\bullet}_{\beta\gamma}{}^{\rho}A^{\bullet}_{\alpha\rho}{}^{\sigma} - (-1)^{|e_{\alpha}||e_{\beta}|} A^{\bullet}_{\alpha\gamma}{}^{\rho}A^{\bullet}_{\beta\rho}{}^{\sigma}) = 0$、これは形式的接続の整合性を保証する。
• 有限次元完全空間におけるホモトピー的確率変数の空間は、$\Bbbk[\![t_{\mathcal{S}^\diamond}]\!]$ 上の平坦なアフィン接続によって記述される形式的幾何的構造を有し、曲率は恒等的にゼロである。
• 空間 $\mathcal{S}^\diamond$ 上のホモトピー確率空間構造は、$\mathcal{S}^\diamond_{\color[rgb]{0,0,1}L}$ から $\mathcal{C}_{{\color[rgb]{0,0,1}L_{\infty}}}$ への単位元を有する $sL_{\infty}$-準同型 $\underline{\varphi}^{\mathcal{S}^\diamond}$ によって誘導され、期待値は $\iota^{{\bm{\mathcal{S}}}^\diamond} = \mathfrak{c} \circ \varphi_1^{\mathcal{S}^\diamond}$ で与えられる。