[論文レビュー] Homotopy theory of small diagrams over large categories

Boris Chorny, W. G. Dwyer|ArXiv.org|Jul 5, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、大規模な完備的単体的圏 $\Delta$ から単体的集合への小さな関手の圏にクイレンモデル構造を確立し、小さな関手によるセット理論的問題の克服を図る。ホモトピー局所化関手を、標準的なものよりも強い普遍性を持つように構成し、単体的集合における $A$-ポストニコフ塔の完全に関手的な構成を可能にする。

ABSTRACT

Let $D$ be a large category which is cocomplete. We construct a model structure (in the sense of Quillen) on the category of small functors from $D$ to simplicial sets. As an application we construct homotopy localization functors on the category of simplicial sets which satisfy a stronger universal property than the customary homotopy localization functors do.

研究の動機と目的

• 大規模な圏から単体的集合への関手のホモトピー理論を発展させること、これは通常、サイズの問題により集合でないため。
• 自然変換の適切でないクラスの基礎的問題を、良い性質を持つ圏をなす小さな関手に制限することで解決すること。
• $\mathcal{D}$ が完備的であるとき、小さな関手の圏 $\mathcal{S}^{\mathcal{D}}_{\text{sm}}$ にモデル圏構造を構成すること。
• この構造を用いて、標準的なものよりも強力な普遍性を持つホモトピー局所化関手を構成すること。
• これらの局所化を用いて、任意の空間 $A$ に対して完全に関手的な $A$-ポストニコフ塔を構成すること、古典的なムーア構成を一般化する。

提案手法

• 小さな関手を表現関手の小さな重み付きコロイドとして定義し、インデックス圏の大きさにもかかわらず、それが良い性質を持つ圏をなすことを保証する。
• 一般化された小さな対象技法を用いて $\mathcal{S}^{\mathcal{D}}_{\text{sm}}$ にモデル構造を構成し、弱同値とファイバー写像を生成写像の集合に対する上昇性を用いて定義する。
• 一般化された小さな対象技法を用いて、恒等関手 $\mathrm{Id} \to *$ を関手 $\widetilde{K}$ を通して分解し、これが局所化関手 $L_f$ となるようにする。
• 構成の性質により、$\widetilde{K}$ が $f$-局所的であり、ホモトピー的冪等的であることを保証し、すべての $C$ に対して $\widetilde{K}(C)$ がファイバー的かつ $f$-局所的であるようにする。
• $L_f$ の関手的普遍性を活用して、各 $n \geq 1$ に対して、nullification 関手 $P_{\Sigma^n A}$ のための自然変換 $\zeta_n: L_{f_n} \to L_{f_{n-1}}$ を定義し、関手の塔を構成する。
• $A = S^0$ に適用することで、古典的ポストニコフ塔の新しい関手的バージョンを回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な圏 $\mathcal{D}$ から単体的集合への小さな関手の圏に、サイズの問題があるにもかかわらずモデル圏構造を定義できるか？
• RQ2 標準的なものよりも強い普遍性を持つホモトピー局所化関手を構成できるか、これにより局所化プロセス全体の関手的性が保証されるか？
• RQ3 入力空間 $X$ に関して完全に関手的なポストニコフ塔を構成することは可能か？（単なる塔としての関手的性ではなく、入力空間全体にわたる関手的性）
• RQ4 $\mathcal{S}^{\mathcal{S}}_{\text{sm}}$ におけるモデル構造は、等長的モデル構造やプロ空間の構造とどのように関係しているか？
• RQ5 局所化関手の強化された関手的性は、スペクトラのような安定圏へ拡張可能か？ これによりクロミティック分解が得られるか？

主な発見

• 任意の完備的単体的圏 $\mathcal{D}$ に対して、小さな関手の圏 $\mathcal{S}^{\mathcal{D}}_{\text{sm}}$ にクイレンモデル構造を構成した。これにより、基礎的なサイズの問題が解決された。
• $\mathcal{D}$ が小さいとき、このモデル構造は標準的な射影的モデル構造に還元されるが、一般には関手的分解を備えない。
• 小さな対象技法を用いて構成された局所化関手 $L_f$ は、$f$-局所的であり、ホモトピー的冪等的であり、標準的な局所化よりも強い普遍性を満たす。
• 各 $n \geq 0$ に対して、$f_n: \Sigma^n A \to *$ を用いた nullification 関手 $P_{\Sigma^n A} = L_{f_n}$ を、$\mathcal{S} \to \mathcal{S}$ としての関手として、所望の普遍性を持つように構成した。
• $n > 0$ に対して自然変換 $\zeta_n: P_{\Sigma^n A} \to P_{\Sigma^{n-1} A}$ が存在し、完全に関手的な $A$-ポストニコフ塔の構成が可能になった。
• $A = S^0$ のとき、得られる塔は古典的ポストニコフ塔の新しい完全に関手的な構成であり、ムーアの手作業的アプローチを一般化する。