[論文レビュー] Homotopy types of Diffeomorphism groups of noncompact 2-manifolds

Tatsuhiko Yagasaki|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンpact-open $C^{\infty}$-位相における非コンパクトで連結な滑らかな2次元多様体の微分同相群のホモトピー型を調査する。同定成分は位相的 $\ell_2$-多様体であり、多様体が平面、開円形領域、または開 Möbius バンドである場合には円周 $\mathbb{S}^1$ とホモトピー同値であるが、それ以外の場合は収縮可能である。これらの結果は、弱位相と同倫的変形の技法を用いて体積を保存する微分同相群へと拡張可能である。

ABSTRACT

Suppose M is a noncompact connected smooth 2-manifold without boundary and let D(M)_0 denote the identity component of the diffeomorphism group of M with the compact-open C^infty-topology. In this paper we investigate the topological type of D(M)_0 and show that D(M)_0 is a topological ell_2-manifold and it has the homotopy type of the circle if M is the plane, the open annulus or the open M"obius band, and it is contractible in all other cases. When M admits a volume form w, we also discuss the topological type of the group of w-preserving diffeomorphisms of M. To obtain these results we study some fundamental properties of transformation groups on noncompact spaces endowed with weak topology.

研究の動機と目的

• 非コンパクト滑らかな2次元多様体の微分同相群の同定成分 $\mathcal{D}(M)_0$ がコンパクト開 $C^\infty$-位相の下でどのようなホモトピー型をとるかを分類すること。
• 非コンパクト空間上の変換群に対して弱位相を導入することで、コンパクト多様体からの結果を非コンパクト多様体へと拡張すること。
• 与えられた体積形式を持つ非コンパクト2次元多様体上での体積を保存する微分同相群の位相的およびホモトピー的構造を解析すること。
• コンパクト台を持つ微分同相群で、コンパクト同倫的変形を伴う部分群が、全微分同相群においてホモトピー的稠密であることの確立。

提案手法

• 非コンパクト空間上の変換群に対して、コンパクト開位相に対応する弱位相の概念を導入する。
• 既存のホメオモルフィズム群に関する結果を、$\ell_2$-多様体構造およびホモトピー分類の条件を満たすことで、微分同相群へ適用する。
• ネストされた部分多様体における帰納的議論により、$\mathcal{D}_X^r(M)_0$ のホモトピー型を分析するため、コンパクト部分多様体の列 $\{M_i\}$ を用いる。
• ホモトピー的稠密部分空間および強変形リトラクト（SDR）の概念を用いて、コンパクト台を持つ同倫的変形が全微分同相群においてホモトピー的稠密であることを示す。
• エンド電荷ホモモルフィズムおよび同倫的変形拡張定理を用いて、有限型の多様体上の微分同相群の構造を解析する。
• 無限遠における Alexander のトリックと SDR 論法を用いて、特定の状況下で収縮可能または円周型ホモトピー型が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト開 $C^\infty$-位相の下で、非コンパクト滑らかな2次元多様体の微分同相群の同定成分のホモトピー型は何か？
• RQ2 体積形式 $\omega$ を持つ非コンパクト2次元多様体上での $\omega$-保存微分同相群は、どのような場合に円周 $\mathbb{S}^1$ または収縮可能とホモトピー同値となるか？
• RQ3 コンパクト台とコンパクト同倫的変形を伴う微分同相群の部分群は、全微分同相群とホモトピーの観点でどのように関係しているか？
• RQ4 コンパクト台を持つ微分同相群が、全微分同相群においてホモトピー的稠密であるための条件は何か？

主な発見

• 非コンパクト滑らかな2次元多様体の微分同相群の同定成分 $\mathcal{D}(M)_0$ は位相的 $\ell_2$-多様体である。
• $M$ が平面、開円形領域、または開 Möbius バンドである場合、$\mathcal{D}(M)_0$ は円周 $\mathbb{S}^1$ とホモトピー同値である。
• それ以外のすべての場合において、$\mathcal{D}(M)_0$ は収縮可能である。
• $\mathcal{D}^r_X(M)^c_0 \subset \mathcal{D}^r_X(M)_0$ の包含写像はホモトピー同値であり、$\mathcal{D}^r_X(M)^{c*}_0$ は $\mathcal{D}^r_X(M)_0$ においてホモトピー的稠密である。
• 非コンパクト2次元多様体上での体積を保存する微分同相群について、$\mathcal{D}(M;\omega)_0$ は位相的 $\ell_2$-多様体であり、$\mathcal{D}(M)_0$ と同じホモトピー型を持つ。
• エンド電荷ホモモルフィズム $c^\omega_0$ の核は $\mathcal{D}(M;\omega)_0$ の強変形リトラクトであり、そのコンパクト台を持つ同倫的変形部分群はホモトピー的稠密である。