[論文レビュー] Homotopy types of strict 3-groupoids

Carlos Simpson|ArXiv.org|Oct 9, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 38

ひとこと要約

この論文は、厳密な3群コホモロジーがすべての3型の空間をモデル化できないことを示しており、特に2次元球面 $S^2$ の3型が、ホワイトヘッドブラケットが非ゼロであるため、いかなる妥当な実現関手によっても実現できないことを示している。主な障害はエクマン＝ヘイリントンの議論に起因し、これにより合成が厳密に可換になり、高次ホモトピー作用が自明化される。

ABSTRACT

We look at strict $n$-groupoids and show that if $\Re$ is any realization functor from the category of strict $n$-groupoids to the category of spaces satisfying a minimal property of compatibility with homotopy groups, then there is no strict $n$-groupoid $G$ such that $\Re (G)$ is the $n$-type of $S^2$ (for $n\geq 3$). At the end we speculate on how one might fix this problem by introducing a notion of ``snucategory'', a strictly associative $n$-category with only weak units.

研究の動機と目的

• 厳密な3群コホモロジーが妥当な実現関手を介してすべての3型の空間を実現できるかどうかを特定すること。
• 特に非自明なホワイトヘッドブラケットの関係において、厳密な $n$-群コホモロジーがホモトピー型をモデル化する際の制限を明確にすること。
• ホモトピー群とオブジェクトから点への対応を保存する「妥当な実現関手」の概念を形式化すること。
• 厳密な結合則を満たすが単位は弱いという特徴を持つ、新たな枠組み「$n$-snucategories」を提唱し、問題の解決策とすること。
• $n$-snucategoriesが弱同値に関して $n$-切断ホモトピー型をモデル化できる可能性があると予想すること。

提案手法

• 『妥当な実現関手』を、ホモトピー群の自然同型を通じて $ au_0$ と $ au_i$ を保存する関手として定義する。
• エクマン＝ヘイリントンの議論を用いて、共通の始点と終点を持つ厳密な2次元モーフィズムが正確に可換でなければならないことを示し、高次作用を自明化することを示す。
• 1つのオブジェクトと1つの1次元モーフィズムを持つ厳密な3群コホモロジーを、$ au_0$ が群をなすアーベルモノイド群として分析する。
• ホモトピー群を尊重する写像を通じてポストニコフ塔の分解を適用し、このような実現が塔を分解しなければならないことを示す。
• エクマン＝ヘイリントンの障害を回避するため、厳密な $n$-カテゴリの単位を厳密に持たず、弱い単位のみを備えた「$n$-snucategories」の概念を導入する。
• $n$-snucategoriesにおける同値関手と切断関手を定義し、ホモトピー局所化の枠組みを確立し、空間との比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の妥当な実現関手が、厳密な3群コホモロジーから位相空間へと写して、$S^2$ の3型を実現できるか？
• RQ2 なぜ厳密な $n$-群コホモロジーは、非自明なホワイトヘッドブラケットが存在する場合にすべての $n$-型をモデル化できないのか？
• RQ3 エクマン＝ヘイリントンの議論が厳密な $n$-カテゴリで可換性を強制し、ホモトピー理論にどのような影響を与えるのか？
• RQ4 厳密な合成系における弱い単位（すなわち $n$-snucategories）は、高次ホワイトヘッド作用の自明化を回避できるか？
• RQ5 $n$-切断ホモトピー型を弱同値に関してモデル化できるようなカテゴリカル枠組み（たとえば $n$-snucategories）が存在するか？

主な発見

• $S^2$ の3型は、いかなる妥当な実現関手によっても厳密な3群コホモロジーの像として実現できない。
• 障害の原因は、$S^2$ ではホワイトヘッドブラケット $ au_2 imes au_2 o au_3$ が非ゼロであるが、エクマン＝ヘイリントンの議論により厳密な3群コホモロジーでは自明になることにある。
• 厳密な $n$-カテゴリでは、交換則がすべての同じ始点・終点を持つ2次元モーフィズムが正確に可換であることを強制し、高次ホモトピー作用を消去する。
• ホモトピー群を保存する任意の実現関手は、実現先のポストニコフ塔を分解しなければならないが、$S^2$ では $ au_3$-不変量が非自明であるため、これは不可能である。
• 弱い単位と厳密な合成を備えた提案された $n$-snucategories枠組みは、$n$-切断ホモトピー型をより良いモデルとして提供できる可能性がある。
• $n$-snugroupoidsの同値関手による局所化と、$n$-切断空間の弱同値による局所化が同値であるという予想が成り立つ。