[論文レビュー] Hopf Algebra Equivariant Cyclic Homology and Cyclic Homology of Crossed Product Algebras

R. Akbarpour, Masoud Khalkhali|ArXiv.org|Nov 29, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、GetzlerとJonesの交叉積代数の循環ホモロジーに関する研究を、ホップ代数作用へ一般化する。円筒的複体 $A\natural\mathcal{H}$ を導入し、交叉積代数の循環複体とそれらの円筒的複体の対角との間の同型を証明する。ホップ代数 $\mathcal{H}$ の反対作用素 $S$ が可逆であるとき、$A\rtimes\mathcal{H}$ の循環ホモロジーを近似するスペクトル系列を構成し、$\mathsf{E}^0$、$\mathsf{E}^1$、$\mathsf{E}^2$ 項を明示的に計算する。

ABSTRACT

We introduce the cylindrical module $A atural \mathcal{H}$, where $\mathcal{H}$ is a Hopf algebra and $A$ is a Hopf module algebra over $\mathcal{H}$. We show that there exists an isomorphism between $\mathsf{C}_{\bullet}(A^{op} times \mathcal{H}^{cop})$ the cyclic module of the crossed product algebra $A^{op} times \mathcal{H}^{cop} $, and $Δ(A atural \mathcal{H}) $, the cyclic module related to the diagonal of $A atural \mathcal{H}$. If $S$, the antipode of $\mathcal{H}$, is invertible it follows that $\mathsf{C}_{\bullet}(A times \mathcal{H}) \simeq Δ(A^{op} atural \mathcal{H}^{cop})$. When $S$ is invertible, we approximate $HC_{\bullet}(A times \mathcal{H})$ by a spectral sequence and give an interpretation of $ \mathsf{E}^0, \mathsf{E}^1$ and $\mathsf{E}^2 $ terms of this spectral sequence.

研究の動機と目的

• 群作用からホップ代数作用へ、交叉積代数の循環ホモロジー理論を拡張すること。
• ホップ代数 $\mathcal{H}$ 上のホップモジュール代数 $A$ に対して、円筒的複体 $A\natural\mathcal{H}$ を定義し、その対角が循環複体をなすことを示すこと。
• 反対作用素が可逆であるとき、交叉積代数の循環複体と円筒的複体の対角との間の同型を確立すること。
• 反対作用素 $S$ が可逆である場合に、$HC_\bullet(A\rtimes\mathcal{H})$ を近似するスペクトル系列を構成し、初期項を計算すること。
• 半単純ホップ代数や局所冪零微分作用素を持つ代数に応用し、周期的コホモロジーにおける既知の同型を回復すること。

提案手法

• ホップ代数 $\mathcal{H}$ 上のホップモジュール代数 $A$ に対して、$\mathcal{H}$ の $A$ への作用を用いて円筒的複体 $A\natural\mathcal{H}$ を導入する。
• 面、退化、循環作用素がパラサイクル恒等式を満たすことを検証することで、対角 $\Delta(A\natural\mathcal{H})$ が循環複体をなすことを証明する。
• 円筒的複体に対するEilenberg-Zilber定理を用いて、$\mathsf{C}_\bullet(A^{op}\rtimes\mathcal{H}^{cop})$ と $\Delta(A\natural\mathcal{H})$ の間に同型を確立する。
• 反対作用素 $S$ が可逆であるとき、双対性とモジュール構造を用いて、同型 $\mathsf{C}_\bullet(A\rtimes\mathcal{H}) \simeq \Delta(A^{op}\natural\mathcal{H}^{cop})$ を導出する。
• 等変循環複体 $C_\bullet^{\mathcal{H}^{cop}}(A^{op})$ を構成し、これを使って $HC_\bullet(A^{op}\rtimes\mathcal{H}^{cop})$ を近似するスペクトル系列を構成する。
• ホモロジー代数と $\mathcal{H}$ の $A$ への作用を用いて、スペクトル系列の $\mathsf{E}^0$、$\mathsf{E}^1$、$\mathsf{E}^2$ 項を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ代数 $\mathcal{H}$ が $A$ に作用するとき、$A\rtimes\mathcal{H}$ の循環ホモロジーはどのように計算できるか？
• RQ2 反対作用素 $S$ は、交叉積代数の循環複体と円筒的複体の対角との間の同型を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 反対作用素 $S$ が可逆であるとき、$HC_\bullet(A\rtimes\mathcal{H})$ を近似するスペクトル系列を構成できるか？ その初期項は何か？
• RQ4 スペクトル系列の $\mathsf{E}^0$、$\mathsf{E}^1$、$\mathsf{E}^2$ 項は、$\mathcal{H}$-不変およびコ不変部分複体のホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 スペクトル系列は、局所冪零微分作用素を持つ代数や半単純ホップ代数に対してどのような意味を持つのか？

主な発見

• 円筒的複体 $A\natural\mathcal{H}$ の対角 $\Delta(A\natural\mathcal{H})$ は、循環複体 $\mathsf{C}_\bullet(A^{op}\rtimes\mathcal{H}^{cop})$ に同型である。
• 反対作用素 $S$ が可逆であるとき、同型 $\mathsf{C}_\bullet(A\rtimes\mathcal{H}) \simeq \Delta(A^{op}\natural\mathcal{H}^{cop})$ が存在し、これにより従来の結果が一般ホップ代数へ拡張される。
• $HC_\bullet(A^{op}\rtimes\mathcal{H}^{cop})$ を近似するスペクトル系列が構成され、$\mathsf{E}^0$ 項は $\mathsf{E}^0_{pq} = C_p^{\mathcal{H}^{cop}}(A^{op}) \otimes \Omega_q(\mathcal{H}^{cop})$ で与えられる。
• $\mathsf{E}^1$ 項は、複体 $C_\bullet^{\mathcal{H}^{cop}}(A^{op})$ と $\mathcal{H}^{cop}$ の標準複体との係数付きホモロジーに同型であり、$\mathsf{E}^2$ 項は $\mathcal{H}^{cop}$-コ不変部分複体のホモロジーである。
• 半単純ホップ代数の場合、スペクトル系列は $\mathsf{E}^1$ で収束し、$HC_\bullet(A\rtimes\mathcal{H};\mathsf{W}) \cong HC_\bullet(C_\bullet^{\mathcal{H}}(A);\mathsf{W})$ が成り立つ。ここで $C_\bullet^{\mathcal{H}}(A)$ は等変チェーン複体である。
• 局所冪零微分作用素 $\delta$ が $A$ に存在し、$\mathcal{H} = k[x]$ のとき、スペクトル系列により周期的コホモロジーにおいて6項完全系列が得られ、高次の項が消えることから $HP^\ast(A\rtimes\mathcal{H}) \simeq HP^\ast(A)$ が導かれる。