[論文レビュー] Hopf algebra structures and tensor products for group algebras

Jon Carlson, Srikanth B. Iyengar|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、初等アーベル $p$-群の群代数に対して、次数1の要素のボクスタインによって生成されるコhomology環の多項式部分環 $S$ の作用が、群的およびリー的ホップ代数余代数構造の選択に依存しないことを確立する。この不変性により、$\zeta \in S$ であるモジュール $L_\zeta$ を含むテンソル積が、余代数構造の選択にかかわらず正しく定義可能となり、ホップ代数構造を通じて群表現と可換代数を結ぶ際の主要な障害が解消される。

ABSTRACT

The modular group algebra of an elementary abelian p-group is isomorphic to the restricted enveloping algebra of commutative restricted Lie algebra. The different ways of regarding this algebra result in different Hopf algebra structures that determine cup products on cohomology of modules. However, it is proved in this paper that the products with elements of the polynomial subring of the cohomology ring generated by the Bocksteins of the degree one elements are independent of the choice of these coalgebra structures.

研究の動機と目的

• 初等アーベル $p$-群の群代数におけるホップ代数余代数構造の違いによって生じる $kE$-モジュールのテンソル積構成の曖昧さを解消すること。
• 次数1の要素のボクスタインによって生成される多項式部分環 $S$ が、$\operatorname{Ext}^*_{kE}(M,M)$ 上に作用する際、余代数構造の選択に依存しないことを示すこと。
• 任意の $\zeta \in S$ に対して、$L_\zeta \otimes_k M$ の同型類が、群的またはリー的余代数構造のどちらを用いても一意に定まることを確立すること。
• コホモロジー写像 $\theta^M$ がホッホシュタイナー・コホモロジーを介して因数分解されることを示し、$S$ への制限が余代数構造の選択に依存しないことにより、可換代数と群表現論の間のカテゴリカル同値を支援すること。

提案手法

• コホモロジー作用写像 $\theta^M: \operatorname{Ext}^*_{kE}(k,k) \to \operatorname{Ext}^*_{kE}(M,M)$ がホッホシュタイナー・コホモロジー $\operatorname{HH}^*(kE/k; kE)$ を介して因数分解されることを用い、余代数依存性とモジュール依存性を分離する。
• スウィードラーの記法を用いて余乗法を記述し、モジュールのテンソル積への対角作用を $\alpha \cdot (x \otimes m) = \sum_{(\alpha)} \alpha_1 x \otimes \alpha_2 m$ で定義する。
• 同型 $kE \cong k[x_1,\dots,x_r]/(x_1^p,\dots,x_r^p)$ を用いて、群代数を括弧付きの単位的リー代数（括弧が自明で、$p$-冪作用が自明でない）の制限付き包あくり代数として実現する。
• 群 $E$ が巡回 $p$-群の直積であることを利用して、両方の余代数構造において Hochschild コホモロジー写像が $S$ 上で同一であることを明示的に計算で示す。
• Pevtsova と Witherspoon の結果（$\theta^M$ が $\operatorname{HH}^*(kE/k; kE)$ を介して因数分解可能）に依拠し、問題を因数分解の最初の写像の比較に還元する。
• 両方の余代数構造を用いて $L_\zeta$-モジュールのテンソル積の振る舞いを解析し、特性 2 における明示的基底計算により、$S$ の外では不変性が成立しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初等アーベル $p$-群の群代数におけるホップ代数余代数構造の選択に依存して、コホモロジー環が $\operatorname{Ext}^*_{kE}(M,M)$ 上に作用するか？
• RQ2 次数1の要素のボクスタインによって生成される多項式部分環 $S$ の作用は、余代数構造の選択に依存しないか？
• RQ3 $\zeta \in S$ のとき、$L_\zeta \otimes_k M$ の同型類は余代数構造の選択に依存しないと定義可能か？
• RQ4 $S$ への制限が保たれる限り、モジュールのサポート多様体が余代数構造の変更によって変わらないか？
• RQ5 不変性結果の強い逆が成り立つのか、すなわちテンソル積が同型となるのは、コホモロジー類が $S$ 内にある場合に限るのか？

主な発見

• ボクスタインによって生成される部分環 $S \subseteq \operatorname{H}^*(E,k)$ が $\operatorname{Ext}^*_{kE}(M,M)$ 上に作用する際、群的およびリー的ホップ代数余代数構造の選択に依存しない。
• その結果、任意の $kE$-モジュール $M$ および任意の $\zeta \in S$ に対して、$L_\zeta \otimes_k M$ の同型類は、使用する余代数構造に関わらず一意に定まる。
• ホッホシュタイナー・コホモロジー写像 $\operatorname{HH}^*(kE/k; kE) \to \operatorname{Ext}^*_{kE}(M,M)$ は $\theta^M$ を介して因数分解可能であり、両方の余代数構造において $S$ 上への制限が同一であるため、不変性が保証される。
• サポート多様体 $V_G(M)$ は余代数構造に依存しない。なぜなら、$S$ 内の $\operatorname{Ext}^*_{kE}(M,M)$ の annihilator である $J(M) \cap S$ が、余代数構造の選択に依存しないからである。
• 特性 2 における明示的計算により、$\zeta \notin S$ のとき、リー余代数構造では $L_\zeta \otimes_k L_\zeta$ が分解可能であるが、群余代数構造では非分解的であることが示され、結果の鋭さが裏付けられる。
• Magma を用いたコンピュータ実験の結果、$L_{\gamma_1} \otimes_k L_{\gamma_2}$ の同型類が余代数構造に依存しないのは、$\gamma_1, \gamma_2$ の少なくとも一方が $S$ 内にある場合に限ることが示され、主定理の強い逆が支持される。