[論文レビュー] Hopf algebras of GK-dimension two with vanishing Ext-group

D.-G. Wang, J.J. Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Gelfand-Kirillov次元2の有限生成でネーター的であるが、$\operatorname{Ext}^1_H(k,k)=0$ を満たす新しいホップ代数の族を構成し、分類する。これにより、グーディアールとチャンが提起した「すべてのこのようなホップ代数は非零のExt条件を満たすはずである」という疑問に対して、否定的な答えを与える。著者らは新しいクラス $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ を導入し、根の単位の排除仮説の下で、この代数が唯一のこのような代数であることを証明する。

ABSTRACT

We construct and study a family of finitely generated Hopf algebra domains $H$ of Gelfand-Kirillov dimension two such that $\Ext^1_H(k,k)=0$. Consequently, we answer a question of Goodearl and the second-named author.

研究の動機と目的

• Gelfand-Kirillov次元2で $\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$ を満たす有限生成でネーター的ホップドメインを構成し、グーディアールとチャンが提起した問いに答えること。
• $\Omega'$という仮定の下で分類を行う。この仮定は、$q$ が原始5乗根または7乗根である場合、$A(1,q)$ がホップ部分代数として現れないように制限する。
• 与えられた制限の下で、GK次元2で $\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$ を満たすホップドメインがすべてこの新しい族 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ に含まれることを示す証拠を提供すること。
• 新しい代数がそのアフィン中心上で有限生成であり、かつ $s=2$ かつ $\alpha_1 \neq \alpha_2$ のときに限り、有限グローバル次元を持つことを示すこと。

提案手法

• グーディアール＝チャンの $B(n,p_0,\dots,p_s,q)$ から変形した新しいホップ代数族 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ を構成する。
• スケュー原始的および群的元の構造を用いて関係式を定義する：$x^{-1}y_i x = q_i y_i$、$y_i^{p_i} = y_1^{p_1} + \alpha_i(x^M - 1)$、および $q_i^{n_j} = q_j^{n_i} = 1$。
• コラディカルフィルトレーションとGK次元の議論を用いて、ホップ部分代数の構造を解析し、仮定 $\Omega'$ を用いて分類する。
• $\operatorname{Ext}^1_H(k,k)$ の消滅を用いて、すべての $\alpha_i = 0$ の場合を除外する。この場合、$H$ は非零のExtを持つ既知の7つの族のいずれかに同型になるため。
• グーディアール＝チャンの条件$(\natural)$における分類結果を援用し、新しい分類定理を用いて、非零Extの場合から消滅Extの場合へ拡張する。
• スケュー原始的元とその重みの性質を用いて、$\Omega'$の下で、$\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$ を満たすGK次元2のホップドメインとして、$B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ が唯一の可能性であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gelfand-Kirillov次元2で $\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$ を満たすホップドメインは存在するか？ これは、従来の分類で仮定されていた非零Ext条件$(\natural)$に反する。
• RQ2 適切な制限の下で、GK次元2で $\operatorname{Ext}^1_H(k,k)$ が消える有限生成ホップドメインをすべて分類できるか？
• RQ3 特定の根の単位を除いた場合、$B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ がGK次元2で $\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$ を満たすホップドメインの唯一の族であるか？
• RQ4 新しいホップ代数 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ のホモロジー的性質（例えば、インジェクティブ次元、グローバル次元）は何か？
• RQ5 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ のグローバル次元が有限である条件は何か？ また、そのときグローバル次元が正確に2になるのはいつか？

主な発見

• 本稿は、GK次元2で $\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$ を満たす新しいホップ代数族 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ を構成し、Ext条件$(\natural)$が成立しない最初の既知の例を提供する。
• 仮定 $\Omega'$ の下で、GK次元2で $\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$ を満たす任意の有限生成ホップドメインは、$i \neq j$ に対して $\alpha_i \neq \alpha_j$ を満たす $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ に同型でなければならない。
• $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ はそのアフィン中心上で有限生成であり、インジェクティブ次元は正確に2である。
• $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ のグローバル次元は、$s = 2$ かつ $\alpha_1 \neq \alpha_2$ のときに限り有限であり、そのときグローバル次元は2に等しい。
• $\Omega'$の下で分類は完全である：このようなホップドメインは、非零の $\operatorname{Ext}^1_H(k,k)$ を持つ7つの既知の族のいずれか、または非零の $\alpha_i$ を持つ新しい族 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ に同型でなければならない。
• この構成により、GK次元2において $\operatorname{Ext}^1_H(k,k)$ が消えることが可能であることが示され、[GZ, 問題0.3]に対する否定的解答が得られた。