[論文レビュー] Hopf Algebroids, Bimodule Connections and Noncommutative Geometry

Aryan Ghobadi|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非可換代数上の第一順階微分計算を用いて、非可換代数上でのホップ・アレブロイドの新しい例を構成する。左双代数的ホップ・アレブロイド $B\frak{X}^1$ を左双モジュール接続を表すために導入し、$\frak{X}^1$ および $\frak{\textstyle\bigwedge}^2\frak{X}^1$ のピボタル性の条件下で、平坦な双モジュール接続を分類するホップ・アレブロイド $\mathcal{D}\frak{X}$ を構成する。可換な場合に Lie-Rinehart のホップ・アレブロイドが商として回復されることを示す。

ABSTRACT

We construct new examples of left bialgebroids and Hopf algebroids, arising from noncommutative geometry. Given a first order differential calculus $Ω$ on an algebra $A$, with the space of left vector fields $\mathfrak{X}$, we construct a left $A$-bialgeroid $B\mathfrak{X}$, whose category of left modules is isomorphic to the category of left bimodule connections over the calculus. When $Ω$ is a pivotal bimodule, we construct a Hopf algebroid $H\mathfrak{X}$ over $A$, by restricting to a subcategory of bimodule connections which intertwine with both $Ω$ and $\mathfrak{X}$ in a compatible manner. Assuming the space of 2-forms $Ω^{2}$ is pivotal as well, we construct the corresponding Hopf algebroid $\mathcal{D}\mathfrak{X}$ for flat bimodule connections, and recover Lie-Rinehart Hopf algebroids as a quotient of our construction in the commutative case. We use these constructions to provide explicit examples of Hopf algebroids over noncommutative bases.

研究の動機と目的

• 非可換基底代数を持つ明示的なホップ・アレブロイド例の不足に対処すること。
• 非可換微分幾何学を用いて、可換でない設定に一般化された Lie-Rinehart のホップ・アレブロイドを構築すること。
• 第一順階微分計算を持つ非可換代数上での平坦な双モジュール接続を分類するホップ・アレブロイド構造を構成すること。
• 文献からの結果を拡張して、構成されたホップ・アレブロイドにおける可逆な反対元の存在に関する基準を提供すること。
• 構成された双代数的ホップ・アレブロイド上のモジュールと、微分計算上の双モジュール接続のカテゴリの間のカテゴリカル同値関係を確立すること。

提案手法

• 第一順階微分計算を持つ代数 $A$ 上の左双モジュール接続のカテゴリと同値である左モジュールのカテゴリを持つ左双代数的ホップ・アレブロイド $B\frak{X}^1$ を構成する。
• 1-形式の空間 $\Omega^1$ および左ベクトル場の空間 $\frak{X}^1$ にピボタル双モジュール構造を導入して、ホップ・アレブロイド $H\frak{X}^1$ を定義する。
• 2-形式の空間 $\Omega^2$ がピボタルであると仮定することで、平坦な双モジュール接続を分類するホップ・アレブロイド $\mathcal{D}\frak{X}$ に拡張する。
• 双代数的ホップ・アレブロイドの普遍性を用いて、$A$ 上でのテンソル積を通じた双モジュール接続のモノイダル構造を回復する。
• シューオンブルクのホップ・アレブロイドの公理を適用し、ボームとシュトラハニの意味での反対元の存在に関する基準を提示する。
• 可換な場合に、$\frak{X}^1$ が有限生成かつ射影的であれば、この構成は古典的な Lie-Rinehart のホップ・アレブロイドに商として還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一順階微分計算から生じる双モジュール接続を分類する非可換代数上でのホップ・アレブロイドを構成できるか？
• RQ2 構成された双代数的ホップ・アレブロイドが反対元を備えたホップ・アレブロイド構造を持つための微分計算に関する条件は何か？
• RQ3 可換な設定において、この構成は古典的な Lie-Rinehart のホップ・アレブロイドとどのように関係しているか？
• RQ4 構成された双代数的ホップ・アレブロイドのモジュールと、双モジュール接続のカテゴリとの間のカテゴリカル関係は何か？
• RQ5 構成されたホップ・アレブロイドにおける反対元の存在は、基底代数への右作用の観点から特徴づけられるか？

主な発見

• 左双代数的ホップ・アレブロイド $B\frak{X}^1$ は、その左モジュールのカテゴリが微分計算上の左双モジュール接続のカテゴリと同値になるように構成される。
• $\Omega^1$ および $\frak{X}^1$ がピボタル双モジュールである場合、この構成により、両方のモジュールと整合する双モジュール接続を分類するホップ・アレブロイド $H\frak{X}^1$ が得られる。
• 平坦な双モジュール接続に対しては、$\Omega^2$ がピボタルであると仮定することでホップ・アレブロイド $\mathcal{D}\frak{X}$ が構成され、可換な場合に Lie-Rinehart のホップ・アレブロイドが商として回復されることを示す。
• 論文は、$\mathcal{D}\frak{X}$ における可逆な反対元の存在に関する基準を提供し、それが $A$ が $\mathcal{D}\frak{X}$ の右作用を備えるときかつそのときに限り成立することを示している。
• 定理 4.13 で構成された反対元は、商関係を適用した後、[20] に記載されたものと一致し、先行研究と整合していることが確認された。
• ジャコビの恒等式や $\Omega^3$ への拡張を必要としないことから、完全なリーホプス代数的データを必要とせず、平坦性がホップ・アレブロイド構造を保証するのに十分であることが示された。