[論文レビュー] Hopf algebroids with bijective antipodes: axioms, integrals and duals

Gabriella Böhm, Kornél Szlachányi|ArXiv.org|Feb 26, 2003

Advanced Topics in Algebra被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、左および右の双代数的構造を入れ替える双射的アンチポードを備えた2方向双代数的構造として定義される、ホップ代数および弱ホップ代数を一般化する新しいホップ代数的構造のクラスを導入する。このようなホップ代数的構造において、非退化な積分の存在が、基底環の拡大がフロベニウス的であること、そして双対ホップ代数的構造が双対性を用いて構成可能であることを示し、この双対性が対合的であることを証明する。

ABSTRACT

Motivated by the study of depth 2 Frobenius extensions we introduce a new notion of Hopf algebroid. It is a 2-sided bialgebroid with a bijective antipode which connects the two, left and right handed, structures. While all the interesting examples of the Hopf algebroid of J.H. Lu turn out to be Hopf algebroids in the sense of this paper, there exist simple examples showing that our definition is not a special case of Lu's. Our Hopf algebroids, however, belong to the class of $ imes_L$-Hopf algebras proposed by P. Schauenburg. After discussing the axioms and some examples we study the theory of non-degenerate integrals in order to obtain duals of Hopf algebroids.

研究の動機と目的

• 左および右の双代数的構造を結びつける双射的アンチポードを備えた、ホップ代数および弱ホップ代数を一般化する新しいホップ代数的構造の定義。
• 深さ2のフロベニウス拡大および双線形形式から自然に生じるアンチポードの役割を明らかにすることにより、双代数的構造におけるアンチポードの役割を明確化すること。
• 非退化な積分の存在を条件として、ホップ代数的構造が双対をもつ条件を確立すること。
• 非退化な積分をもつホップ代数的構造の双対が再びホップ代数的構造であることを示し、この双対性が対合的であることを証明すること。
• この構成が、弱ホップ代数における既知の双対性を非可換基底環へと一般化できることを示すこと。

提案手法

• 基底環 $L$ 上の2方向双代数的構造として、左および右の双代数的構造を入れ替える双射的アンチポード $S$ を備えたホップ代数的構造を定義する。
• 双代数的構造における非退化な積分の理論を用いて、基底代数の $L$-双対を用いて双対対象を構成する。
• 写像 $\iota: A \to {}^*({\cal A}_*)$ により定義される同型 $\iota(a)(\phi_*) = \phi_*(a)$ を用いて、元の代数の $L$-双対上に双対双代数的構造を構成する。
• 非退化な左積分 $\ell$ の存在が、環拡大 $L \to A$ がフロベニウス的かつ $L$-加群として有限生成で射影的であることを示す。
• アンチポードと積分の整合性を用いて、$\iota$ を拡張する厳密な同型を介して、双対ホップ代数的構造 $({\cal A}^\ell_*, S^\ell_*)$ が元のホップ代数的構造と同型であることを証明する。
• 双対性操作が対合的であることを示し、すなわち、二度適用することで元のホップ代数的構造が厳密同型の意味で回復されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双代数的構造におけるアンチポードは、特に双代数的構造の逆が同じ意味で双代数的構造でない場合に、左および右の構造を統合的に定義するにはどのように定義できるか？
• RQ2 ホップ代数的構造が双対をもつ条件は何か？ そして、その双対は代数的にどのように構成できるか？
• RQ3 非退化な積分は、ホップ代数的構造およびその双対の代数的構造を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 この新しいホップ代数的構造の定義は、Luのホップ代数的構造やSchauenburgの $\times_L$-ホップ代数とどのように関係しているか？
• RQ5 この枠組みを用いて、弱ホップ代数の双対性を非可換基底環へと一般化できるか？

主な発見

• ホップ代数的構造 $({\cal A}_L, S)$ に非退化な左積分が存在するならば、環拡大 $L \to A$ はフロベニウス拡大であり、$A$ は $L$-加群として有限生成で射影的である。
• $L$-双対 $({\cal A}^\ell_*, S^\ell_*)$ は、明確に定義された双代数的構造をもつ。
• 双対双代数的構造 $({\cal A}^\ell_*, S^\ell_*)$ は、自然なアンチポードを備えており、これによりホップ代数的構造となる。
• 双対写像 $\iota: A \to {}^*({\cal A}_*)$ は、ホップ代数的構造の間の厳密同型に拡張可能であり、$({\cal A}_L, S^\prime_\ell)$ と $({}^*({\cal A}_*)_{L}, {}^*(S^\ell_*)_{\ell_L^{-1}(1_A)})$ の間の同型を示し、双対性が対合的であることを証明する。
• この構成により、有限次元ホップ代数の古典的双対性が回復され、弱ホップ代数および非可換基底環へと拡張される。
• 本稿では、新しい公理を満たすがLuの公理を満たさないホップ代数的構造の例を提示し、両者の概念が同値でないことを証明する。