[論文レビュー] Hopf bifurcation in a delayed reaction-diffusion-advection population model

Shanshan Chen, Yuan Lou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、空間的に非一様な環境を有する遅れ付き反応拡散移流型集団モデルにおけるホフ分岐を調査する。非一様な正の定常状態の安定性を、楕円型作用素の主固有値の周囲で分析することにより、著者らは、時間遅れが移流および空間的非一様性が存在する中でも不安定性を引き起こし、ホフ分岐によって振動的パターンを誘発することを示した。

ABSTRACT

In this paper, we investigate a reaction-diffusion-advection model with time delay effect. The stability/instability of the spatially nonhomogeneous positive steady state and the associated Hopf bifurcation are investigated when the given parameter of the model is near the principle eigenvalue of an elliptic operator. Our result implies that time delay can make the spatially nonhomogeneous positive steady state unstable for a reaction-diffusion-advection model, and the model can exhibit oscillatory pattern through Hopf bifurcation.

研究の動機と目的

• 遅れ付き反応拡散移流型集団モデルにおける空間的に非一様な正の定常状態の安定性および不安定性を研究すること。
• 空間的非一様性および移流が存在する中で、時間遅れがホフ分岐を誘発できるかどうかを調査すること。
• このようなモデルにおいてホフ分岐を通じて振動解が出現する条件を特定すること。
• 分岐する周期的軌道の方向および安定性を明示的な公式で導出すること。
• 理論的結果をゼロフラックス境界条件を有するモデルへと拡張し、数値的に検証すること。

提案手法

• 移流項を簡略化するための変数変換を用いて、元のモデルを遅れ付き非線形性を有する反応拡散系に変換する。
• 仮定 (A₁) の下で、楕円型作用素の主固有値を用いて、正の定常状態まわりの線形化作用素のスペクトル特性を分析する。
• 中心多様体還元および正規形理論を適用し、ホフ分岐する周期的軌道の方向および安定性を明示的な公式で導出する。
• implicit function theorem を用いて、小さなパラメータに対して分岐方程式の滑らかな解の分岐が存在することを証明する。
• 非線形作用素のフレシェ微分の逆可換性を検証することで、分岐方程式の可解性を確立する。
• ホフ分岐が発生する臨界遅れ値 τₙ(λ) を、固有値および位相角を用いて表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に非一様な成長率を有する反応拡散移流モデルにおいて、時間遅れがホフ分岐を誘発できるか？
• RQ2 移流は、遅れが存在する中で、空間的に非一様な正の定常状態の安定性にどのように影響するか？
• RQ3 このようなモデルにおいて、ホフ分岐を通じて振動的パターンが出現する条件は何か？
• RQ4 分岐する周期的軌道の方向および安定性は何か？
• RQ5 臨界遅れ値 τₙ(λ) は、拡散係数および空間的非一様性にどのように依存するか？

主な発見

• 0 < λ* - λ* ≪ 1 である λ ∈ (λ*, λ*] に対して、ホフ分岐が発生する遅れ値の列 {τₙ(λ)}ₙ=₀^∞ が存在する。
• 時間遅れ r は、空間的に非一様な正の定常状態を不安定化させ、遅れが存在しない場合に安定な系であっても、振動的挙動を引き起こす。
• 分岐する周期的軌道の方向および安定性は、中心多様体還元および正規形理論を用いて導出された明示的公式によって決定される。
• d ∈ [d*, 1/λ*) に対して、元のモデル (1.2) でホフ分岐が発生する遅れ値の列 {rₙ(d)}ₙ=₀^∞ が存在する。
• 臨界遅れ τₙ は τₙ = (θₙ + 2nπ)/νₙ で与えられ、ここで νₙ および θₙ は線形化系の固有値および位相角によって定まる。
• 結果はゼロフラックス境界条件を有するモデルへと拡張され、数値シミュレーションにより理論的予測の振動的パターンが確認された。