[論文レビュー] Hopf Galois Extension in Braided Tensor Categories

Yao-Zhong Zhang, Yao-Zhong Zhang|ArXiv.org|Sep 27, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、同型化子と余同型化子を備えたbraided tensor categoryにおいて、交叉積代数とH-Galois拡張の間の圏的同値性を確立する。$ A = B \#_{\sigma} H $ が交叉積であるための必要十分条件は、拡張 $ A/B $ がGaloisであること、標準的写像 $ q: A \otimes A \to A \otimes_B A $ が分裂すること、および $ \mathcal{C} $ 内で左 $ B $-加群および右 $ H $-コモジュールとしての同型 $ A \cong B \otimes H $ が成り立つことである。

ABSTRACT

The relation between crossed product and $H$-Galois extension in braided tensor category ${\cal C}$ with equivalisers and coequivalisers is established. That is, it is shown that if there exist an equivaliser and a coequivaliser for any two morphisms in ${\cal C}$, then $A = B #_σH$ is a crossed product algebra if and only if the extension $A/B$ is Galois, the canonical epic $q: A\otimes A o A\otimes_B A$ is split and $A$ is isomorphic as left $B$-modules and right $H$-comodules to $B\otimes H$ in ${\cal C}$.

研究の動機と目的

• braided tensor categoryの設定に、古典的な交叉積とH-Galois拡張の対応を一般化すること。
• 同型化子と余同型化子を用いて、非具体的な圏における余不変量と相対的テンソル積を定義すること。
• braided tensor categoryにおける交叉積代数がH-Galoisであるための必要十分条件を確立すること。
• Yetter-Drinfeld圏 $ {}_D^D\mathcal{YD} $ におけるH-Galois拡張のための圏的枠組みを提供し、braided Hopf代数に適用可能であるようにすること。
• Hopf-Galois理論の既知の結果を、特にYetter-Drinfeld圏におけるHopf代数に対してbraided設定へと拡張すること。

提案手法

• braided tensor category $ \mathcal{C} $ において、具体的でない前提を仮定せずに、同型化子と余同型化子を用いて余不変量 $ A^{coH} $ と相対的テンソル積 $ A \otimes_B A $ を定義する。
• 写像 $ \text{can}: A \otimes_B A \to A \otimes H $ が存在し、$ \text{can} \circ q = \text{can}' $ を満たすことで、H-Galois拡張を定義する。ここで $ \text{can}' = (m_A \otimes H)(A \otimes \psi) $ である。
• H による弱作用 $ \alpha $、2-コサイクル $ \sigma $、および整合性条件を用いて、$ \mathcal{C} $ 内で交叉積 $ B \#_{\sigma} H $ を定義する。
• $ A = B \#_{\sigma} H $ が交叉積代数であるための必要十分条件は、$ A/B $ がGaloisであること、$ q $ が分裂すること、および $ \mathcal{C} $ 内で左 $ B $-加群および右 $ H $-コモジュールとして $ A \cong B \otimes H $ が成り立つことであることを確立する。
• 一般結果をYetter-Drinfeld圏 $ {}_D^D\mathcal{YD} $ に適用し、同型化子と余同型化子が核と余核として実現されることを示す。
• Radfordの構成とNichols代数を含む、$ {}_D^D\mathcal{YD} $ 内のbraided Hopf代数の構造を用いて、具体的な例を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 braided tensor categoryにおいて、交叉積代数 $ B \#_{\sigma} H $ がH-Galois拡張に対応するための圏的条件は何か？
• RQ2 具体的な圏を仮定しないbraided tensor categoryにおいて、余不変量と相対的テンソル積をどのように定義できるか？
• RQ3 同型化子と余同型化子を備えたbraided tensor categoryにおいて、代数 $ A $ が同時に交叉積であり、H-Galois拡張であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 この圏的設定において、H-Galois条件は標準的写像 $ q: A \otimes A \to A \otimes_B A $ の分裂性とどのように関係するか？
• RQ5 一般理論はYetter-Drinfeld圏 $ {}_D^D\mathcal{YD} $ に適用可能か？また、braided Hopf代数に与える影響は何か？

主な発見

• 同型化子と余同型化子を備えたbraided tensor category $ \mathcal{C} $ において、$ A = B \#_{\sigma} H $ が交叉積代数であるための必要十分条件は、拡張 $ A/B $ がGaloisであること、標準的写像 $ q: A \otimes A \to A \otimes_B A $ が分裂すること、および $ \mathcal{C} $ 内で左 $ B $-加群および右 $ H $-コモジュールとして $ A \cong B \otimes H $ が成り立つことである。
• 余不変量 $ A^{coH} $ は $ \psi $ と $ \text{id}_A \otimes \eta_H $ の同型化子として定義され、相対的テンソル積 $ A \otimes_B A $ は $ m_A \otimes A $ と $ A \otimes m_A $ を含む二つの合成の余同型化子として定義される。
• Yetter-Drinfeld圏 $ {}_D^D\mathcal{YD} $ において、同型化子と余同型化子はそれぞれ核と余核に対応するため、一般結果は具体的な圏的設定に特殊化される。
• 補題2.1は、$ \mathcal{C} = {}_D^D\mathcal{YD} $ の場合、逆可換な2-コサイクルと弱作用の存在が、$ A = B \#_{\sigma} H $ が交叉積であるための必要十分条件が、Galois条件、分裂条件、加群-コモジュール同型条件が成り立つことであることを示している。
• この結果は、通常のHopf代数理論における既知の結果（例：[9, Theorem 6.4.12]）を、非自明なbraidingがあるため $ q $ の分裂が自動的でないbraided設定に一般化している。
• 例として、グレーディング付きHopf代数からRadfordの方法で構成されたbraided Hopf代数、(co)quasitriangular Hopf代数から得られるもの、および自然にbraidedなHopf代数であるNichols代数が挙げられる。