[論文レビュー] Hopf Galois Structures on Primitive Purely Inseparable Extensions

Alan Koch|arXiv (Cornell University)|May 29, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴が $ p $ である体 $ K $ 上で、次元 $ p^n $（$ n \geq 2 $）の、単項的で、有限次元的で、可換で、コココミュタティブで、局所的局所的であるHopf代数 $ H $ の無限族を構成する。この $ H $ に対して、純粋に非可換な拡大 $ L/K $ が $ p^n $ 次のものとして $ H $-Galois対象となる。この構成により、$ n-1 $ 種類の同型類のこのようなHopf代数が得られ、$ K^\times / (K^{p^{r+1}-1})^\times $ をパrameterとする。また、$ K $ の性質に応じて、$ L/K $ が同型でない無限個の $ H $ に対してHopf Galoisとなることが示され、これは可換な場合の有限分類とは対照的である。

ABSTRACT

Let $L/K$ be a primitive purely inseparable extension of fields of characteristic $p$, $\left[ L:K ight] >p.$ It is well known that $L/K$ is Hopf Galois for some Hopf algebra $H$, and it is suspected that $L/K$ is Hopf Galois for numerous choices of $H$. We construct a family of $K$-Hopf algebras $H$ for which $L$ is an $H$-Galois object. For some choices of $K$ we will exhibit an infinite number of such $H.$ We provide some explicit examples of the dual, Hopf Galois, structure on $L/K.$

研究の動機と目的

• 次元 $ p^n $（$ n \geq 2 $）の、純粋に非可換な拡大 $ L/K $ に対して、$ H $ が $ H $-Galois対象であるような、すべての有限次元的、可換で、ココミュタティブで、局所的局所的 $ K $-Hopf代数 $ H $ を特定すること。
• 特定の体 $ K $ に対して、このような $ H $ の数が無限大であることを示し、これは可換な場合の有限分類とは対照的である。
• 単項的生成子と切断多項式構造を用いて、これらのHopf代数とそれらの $ L $ への作用の明示的代数的構成を提供すること。
• 一般のモジュラー拡大に対して、原始的拡大構造のテンソル積を用いて構成を拡張すること。
• すべての局所的局所的Hopf Galois構造が、構成された族から得られるわけではないことを示し、より一般の構造の存在を示唆すること。

提案手法

• 多項式代数 $ K[t]/(t^{p^n}) $ の商として $ K $-Hopf代数 $ H_{n,r,f} $ を構成し、$ p $ 乗の反復的演算とパラメータ $ f \in K^\times $ を用いてコマルチプライケーションを定義する。
• $ x^{p^n} \in K $ である $ L = K(x) $ における $ H $-作用を、$ s < r $ のとき $ z_{p^s}(x^i) = i_{(s)} x^{i - p^s} $ と定義し、$ s = r $ のときは $ f $ を含む修正された式を用いる。
• $ H $ とその線形双対 $ H^* $ の双対性を用いて、$ \gamma: L \otimes L \to L \otimes H $、$ \gamma(a \otimes b) = (a \otimes 1) \alpha(b) $ による同型写像により、$ L $ が $ H $-Galois対象であることを示す。
• パrameter $ r $（$ 0 < r < n $）によってHopf代数を分類し、各 $ r $ に対して、同型類は $ f \in K^\times / (K^{p^{r+1}-1})^\times $ のコセットに依存する。
• 一般のモジュラー拡大にこの構成を適用するため、$ L/K $ を原始的拡大のテンソル積に分解し、対応するHopf代数 $ H_{n_i, r_i, f_i} $ のテンソル積を形成する。
• 代数的構造が重要であることを示す：コモジュール構造は自然に支持されるが、すべての切断多項式代数 $ L \otimes L $ がこのようなHopf代数構造をもつわけではない。また、一部の $ H $ は単項的でない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋に非可換な拡大 $ L/K $ が $ p^n $ 次（$ n \geq 2 $）であるとき、$ L $ が $ H $-Galois対象であるような、非同型の有限次元的、可換で、ココミュタティブで、局所的局所的 $ K $-Hopf代数 $ H $ はいくつ存在するか？
• RQ2 ある体 $ K $ に対して、このようなHopf代数の数が無限大であることは可能か？もし可能ならば、$ K $ にどのような条件が課されるか？
• RQ3 特に乗法的群 $ K^\times $ の構造が、これらのHopf代数の分類にどのように影響するか？
• RQ4 この構成は任意のモジュラー拡大に一般化可能か？もし可能ならば、その一般化の制限は何か？
• RQ5 構成された族から得られないHopf Galois構造が、モジュラー拡大に存在するか？もし存在するならば、それらの特徴は何か？

主な発見

• 各 $ r $（$ 1 \leq r \leq n-1 $）に対して、$ f \in K^\times / (K^{p^{r+1}-1})^\times $ をパラメータとする $ K $-Hopf代数 $ H_{n,r,f} $ の族が存在し、それぞれが $ L/K $ を $ H $-Galois対象にする。
• 体 $ K $ が不完全で、$ K^\times / (K^{p^{r+1}-1})^\times $ が無限大である場合、このようなHopf代数の数は無限大である。これは $ K = \mathbb{F}_p(T) $ のような多くの不完全体に対して成立する。
• 各 $ H $ に対して、$ L $ を $ H $-Galois対象として実現する方法は $ p^{n-1}(p-1) $ 種類存在し、これは異なる生成子の選び方に対応する。
• 双対Hopf代数 $ H^* $ は、$ 0 \leq j_s \leq p-1 $ の多項式 $ \prod_{s=0}^{n-1} z_{p^s}^{j_s} $ を $ K $-加群として生成し、$ L $ への作用は明示的に計算可能である。
• テンソル積を用いてモジュラー拡大に一般化可能である：$ L = \bigotimes_{i=1}^s L_i $ で、各 $ L_i/K $ が $ p^{n_i} $ 次の原始的拡大であるとき、$ H = \bigotimes_{i=1}^s H_{n_i,r_i,f_i} $ は $ L $ を $ H $-Galois対象にする。
• 単項的でなく、提示された族から構成できないHopf Galois構造をもつモジュラー拡大が存在する。これは、局所的局所的Hopf Galois構造の全集合が、構成されたクラスを厳密に超えることを示唆している。