[論文レビュー] Hopf invariants, topological complexity, and LS-category of the cofiber of the diagonal map for two-cell complexes

Jesús González, Mark Grant+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、2つの2セル複体 $X$ が付加写像 $α: S^q \to S^p$ から生じる場合、メタ安定範囲 $q \leq 3(p-1)$ において、$X$ の位相的複雑性（TC）が、対角写像 $Δ: X \to X \times X$ のコファイバー $C_X$ のルステルニク＝シュナイレルマンカテゴリー（cat）に等しいことを確立している。例外は $p$ が偶数であり、$α$ のホップ不変量の位数が3である場合に限る。この結果は、一般化されたホップ不変量とファイバー付きジョイン技法を用いて導出されており、ロボット工学における運動計画の分野におけるセクショナルカテゴリーと位相的複雑性の研究を拡張している。

ABSTRACT

Let $X$ be a two-cell complex with attaching map $\\alpha\\colon S^q\ o S^p$, and let $C_X$ be the cofiber of the diagonal inclusion $X\ o X\ imes X$. It is shown that the topological complexity (${\ m TC}$) of $X$ agrees with the Lusternik-Schnirelmann category (${\ m cat}$) of $C_X$ in the (almost stable) range $q\\leq2p-1$. In addition, the equality ${\ m TC}(X)={\ m cat}(C_X)$ is proved in the (strict) metastable range $2p-1<q\\leq3(p-1)$ under fairly mild conditions by making use of the Hopf invariant techniques recently developed by the authors in their study of the sectional category of arbitrary maps.

研究の動機と目的

• 2セル複体 $X$ の位相的複雑性 $\mathrm{TC}(X)$ が、対角写像のコファイバー $C_X$ のルステルニク＝シュナイレルマンカテゴリー $\mathrm{cat}(C_X)$ に等しくなる条件を特定すること。
• 一般化されたホップ不変量の応用を、ロボット工学における運動計画の文脈での位相的複雑性と LS カテゴリーの研究に拡張すること。
• メタ安定範囲 $2p-1 < q \leq 3(p-1)$ において、$\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X)$ が成り立つか否かのケースを解明すること、特にホップ不変量の位数が3である場合を含む。
• $\mathrm{TC}(X)$ と $\mathrm{cat}(C_X)$ のホモトピー的特徴づけを、ゼロ除算カップ長と高次ホップ不変量を用いて行うこと。
• 既知の例（例えば曲面や射影空間など）を超えて、より広いクラスの2セル複体に対して、$\mathrm{TC}(X)$ と $\mathrm{cat}(C_X)$ の等価性を一般化すること。

提案手法

• 著者らが最近開発した一般化されたホップ不変量技術を用いて、特に対角埋め込み $\Delta: X \to X \times X$ のセクショナルカテゴリーを分析する。
• ファイバー付きジョイン構成を用いて $C_X$ のガネアファイブレーションをモデル化し、高次ホップ不変量を用いて $\mathrm{cat}(C_X)$ の計算を可能にする。
• $C_X$ のガネアファイブレーション系列における最初の写像と一致する第3ホップ不変量 $h_3^{\mathrm{cat}}$ の同定に依拠し、これにより位相的複雑性と関連付ける。
• ペア $(X \times X, X)$ のコホモロジー系列の分解を用いて、$X$ のゼロ除算カップ長を $\mathrm{cat}(C_X)$ の下界として用いる。
• 整数環 $\mathbb{Z}_k$ 係数におけるボッケシュタイン作用素 $\beta_k$ を適用し、$|\deg(\alpha)| > 2$ のとき $\mathrm{cat}(C_X) \geq 4$ であることをカテゴリーウェイト理論を用いて示す。
• 文献[7]および[9]の結果を組み合わせることで、特定の次元および連結性条件の下で不等式 $\mathrm{cat}(C_X) \leq \mathrm{TC}(X)$ および $\mathrm{TC}(X) \leq \mathrm{cat}(C_X)$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2セル複体 $X$ の位相的複雑性 $\mathrm{TC}(X)$ が、対角写像のコファイバーの LS カテゴリー $\mathrm{cat}(C_X)$ に等しくなるのはいつか？
• RQ2 付加写像 $\alpha: S^q \to S^p$ のホップ不変量が、メタ安定範囲における $\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X)$ の成立に果たす役割は何か？
• RQ3 メタ安定範囲 $2p-1 < q \leq 3(p-1)$ において、$\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X)$ が成立しないことがあるのか？ もしそうなら、どのようなホモトピー的条件下でそうなるか？
• RQ4 ゼロ除算カップ長と高次ホップ不変量は、$\mathrm{cat}(C_X)$ の下界を提供し、$\mathrm{TC}(X)$ との等価性にどのように寄与するか？
• RQ5 いつ $\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X) + 1$ が成り立ち、これは関係するホップ不変量の構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 付加写像 $\alpha: S^q \to S^p$ を持つ2セル複体 $X_\alpha$ に対して、$q \leq 3(p-1)$ のとき、$\mathrm{TC}(X_\alpha) = \mathrm{cat}(C_{X_\alpha})$ が成り立つ。ただし、$p$ が偶数であり、ホップ不変量 $H(\alpha)$ の位数が3である場合は例外となる可能性がある。
• $p$ が偶数で $H(\alpha)$ の位数が3である例外的な場合、$2 \leq \mathrm{cat}(C_X) \leq \mathrm{TC}(X) \leq 3$ であることが示され、等式の成立が疑わしいことが示された。
• $q = 2p - 1$ かつ $p \geq 2$ のとき、$H(\alpha) \neq 0$ であれば、ゼロ除算カップ長と $\mathrm{TC}(X) = 4$ である事実を用いて、$\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X)$ が確認された。
• $p = q = 1$ の場合、すべての $\deg(\alpha)$ に対して等式が成り立つ。$|\deg(\alpha)| = 1$ のとき $\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X) = 2$ であり、$|\deg(\alpha)| > 2$ のとき $\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X) = 4$ である。
• $H(\alpha) = 0$ のとき、$\mathrm{TC}(X) = \mathrm{zcl}_{\mathbb{Q}}(X) = 2$ かつ $\mathrm{cat}(C_X) = 2$ であるため、$2 \leq p \leq q \leq 3(p-1)$ の範囲で等式が成立する。
• 有限型の任意のパス連結なスパンの複体に対しても、この結果は拡張可能であり、Lemma 4.1 と Remark 2.3 の組み合わせにより、$\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X)$ が成り立つ。