[論文レビュー] Hopf polyads, Hopf categories and Hopf group monoids viewed as Hopf monads

Gabriella Böhm|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、高次の圏論およびホフ代数論における最近の構造であるホフポリアド、ホフ圏、ホフ群モノイドが、特定のモノイダル2カテゴリ構成 Span|V におけるホフモノイドとして一様に理解可能であることを確立している。モノイダル2カテゴリ V に対してこれらの構造を Span|V にファンクター的に埋め込むことで、3種類の対象が自然にフロベニウス反写写像モノイド代にたいするホフモノイドとして生じることを示し、それらのアンチポード性質と代数的構造を、モノイダル2カテゴリにおけるホフモノイドという共通の枠組みの下で統一的に解明した。

ABSTRACT

We associate, in a functorial way, a monoidal bicategory $\mathsf{Span}| \mathcal V$ to any monoidal bicategory $\mathcal V$. Two examples of this construction are of particular interest: Hopf polyads (due to Bruguières) can be seen as Hopf monads in $\mathsf{Span}| \mathsf{Cat}$ while Hopf group monoids in a braided monoidal category $V$ (in the spirit of Turaev and Zunino), and Hopf categories over $V$ (by Batista, Caenepeel and Vercruysse) both turn out to be Hopf monads in $\mathsf{Span}| V$. Hopf group monoids and Hopf categories are Hopf monads on a distinguished type of monoidales fitting the framework studied recently by Böhm and Lack. These examples are related by a monoidal pseudofunctor $V o \mathsf{Cat}$.

研究の動機と目的

• ホフポリアド、ホフ圏、ホフ群モノイドといった多様な代数的構造を、共通の圏論的枠組みの下で統一すること。
• これらの構造が、与えられたモノイダル2カテゴリ V に対して特定のモノイダル2カテゴリ構成 Span|V におけるホフモノイドとして生じることを示すこと。
• ホフ群モノイドとホフ圏が、Span|V 内の自然にフロベニウス反写写像モノイド代上でホフモノイドとして生じることを示し、それらのアンチポードの存在と性質を説明すること。
• Span|V から Span|Cat へのモノイダルプシーファンクターを構成し、ホフ群モノイドとホフ圏の両方がホフポリアドに写されることを示し、これらの構造の間の階層的関係を明らかにすること。

提案手法

• 任意の与えられたモノイダル2カテゴリ V から、モノイダル性と反写写像構造を保存するファンクター的モノイダル2カテゴリ Span|V を構成すること。
• V がモノイダルであるとき、Span|V がモノイダル構造を引き継ぐこと、および2カテゴリ間のラクスファンクターがそれらの Span|− 対応物間のラクスファンクターを誘導することを示すこと。
• Span|Cat におけるホフポリアドを、群準同型から生じるモノイド代上の反写写像モノイドとして特定すること。
• ブラケット付きモノイダルカテゴリ V に倣った圏をモノイダルカテゴリ Span|V 内のモノイドとして特定し、ホフ圏とホフ群モノイドを、Span|V 内の自然にフロベニウス反写写像モノイド代上の反写写像モノイドおよびホフモノイドとして特定すること。
• V → Cat というモノイダルプシーファンクターを構成し、これにより Span|V → Span|Cat へのモノイダルプシーファンクターが誘導され、ホフ群モノイドとホフ圏が両方ともホフポリアドに写されることを示すこと。
• モノイダルプシーファンクターがモノイド代、モノイド、反写写像構造、および2セルの可逆性を保存することを用いて、ホフモノイドが保存されることを示し、主な統一的結果を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホフポリアド、ホフ圏、ホフ群モノイドは、共通の圏論的枠組みにおいてホフモノイドとして一様に記述可能か？
• RQ2 ブラケット付きモノイダルカテゴリ V に対して、ホフ群モノイドとホフ圏は Span|V 内の自然にフロベニウス反写写像モノイド代上でホフモノイドとして生じるか？
• RQ3 ホフ群モノイドとホフ圏のアンチポード構造は、それらがホフモノイドとして実現されることによってどのように説明されるか？
• RQ4 Span|V → Span|Cat におけるモノイダルプシーファンクターの役割は、ホフ群モノイド、ホフ圏、ホフポリアドの関係をどのように規定するか？
• RQ5 文献[6]で知られる「表現可能ホフポリアド」としての構造は、誘導されたモノイダルプシーファンクターの下でホフ群モノイドとホフ圏の像として正確に得られるか？

主な発見

• Span|Cat 内のホフポリアドは、群準同型から生じるモノイド代上の反写写像モノイドとして等価であり、それらがホフモノイドであるための必要十分条件は、それらの基盤となるポリアドが群準同型上でのホフポリアドであることである。
• ブラケット付きモノイダルカテゴリ V 上のホフ圏は、Span|V 内の自然にフロベニウス反写写像モノイド代上でホフモノイドであり、そのアンチポード構造は内部自己準同型カテゴリ上のデュアイド性構造によって説明される。
• V 内のホフ群モノイドは、Span|V 内の自明な自然にフロベニウス反写写像モノイド代上でホフモノイドであり、そのアンチポードはホフモノイド構造から生じる。
• モノイダルプシーファンクター V → Cat は、モノイダルプシーファンクター Span|V → Span|Cat を誘導し、ホフ群モノイドとホフ圏の両方がホフポリアドに写される。これにより、このようなホフポリアドが文献[6]の意味で「表現可能」であることが確認された。
• 構成 Span|V はファンクター的である：任意のラクスファンクター F: V → W は、ラクスファンクター Span|F: Span|V → Span|W を誘導し、モノイダルおよび反写写像構造を保存する。
• ホフポリアド、ホフ圏、ホフ群モノイドというすべての構造が、モノイダル2カテゴリにおけるホフモノイドとして統一され、それらのホフ性質とアンチポードの存在は、自然にフロベニウス反写写像モノイド代とデュアイド内部自己準同型カテゴリの枠組みによって説明される。