[論文レビュー] Hopf quasigroups and the algebraic 7-sphere

J. Klim, Shahn Majid|ArXiv.org|Jun 27, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ムーファン環と逆性性質をもつ準群を一般化する代数的構造としてホフプ・クェーショーグループとホフプ・コクェーショーグループを導入し、7次元球面の座標代数 $k[S^7]$ を非可換かつ非結合的でムーファン的性質をもつホフプ・コクェーショーグループとして記述する枠組みを提供する。$S^7$ の平行化性についての短い代数的証明がなされ、八元数の構造定数を用いた左および右不変ベクトル場を通じて、Lie代数 $\\mathfrak{g}_2$ の構造定数が導出される。

ABSTRACT

We introduce the notions of Hopf quasigroup and Hopf coquasigroup $H$ generalising the classical notion of an inverse property quasigroup $G$ expressed respectively as a quasigroup algebra $k G$ and an algebraic quasigroup $k[G]$. We prove basic results as for Hopf algebras, such as anti(co)multiplicativity of the antipode $S:H o H$, that $S^2=\id$ if $H$ is commutative or cocommutative, and a theory of crossed (co)products. We also introduce the notion of a Moufang Hopf (co)quasigroup and show that the coordinate algebras $k[S^{2^n-1}]$ of the parallelizable spheres are algebraic quasigroups (commutative Hopf coquasigroups in our formulation) and Moufang. We make use of the description of composition algebras such as the octonions via a cochain $F$ introduced in \cite{Ma99}. We construct an example $k[S^7] times\Z_2^3$ of a Hopf coquasigroup which is noncommutative and non-trivially Moufang. We use Hopf coquasigroup methods to study differential geometry on $k[S^7]$ including a short algebraic proof that $S^7$ is parallelizable. Looking at combinations of left and right invariant vector fields on $k[S^7]$ we provide a new description of the structure constants of the Lie algebra $g_2$ in terms of the structure constants $F$ of the octonions. In the concluding section we give a new description of the $q$-deformation quantum group $\C_q[S^3]$ regarded trivially as a Moufang Hopf coquasigroup (trivially since it is in fact a Hopf algebra) but now in terms of $F$ built up via the Cayley-Dickson process.

研究の動機と目的

• ムーファン環、特に7次元球面を含む非結合的代数的構造のためのホフプ代数に類似した枠組みを構築すること。
• ホフプ代数の理論を、非結合的・非可換的・非コアソシエイティブな構造を含むように、ホフプ・クェーショーグループとホフプ・コクェーショーグループを用いて一般化すること。
• $k[S^7]$ をホフプ・コクェーショーグループとしての微分計算を用いて、$S^7$ の平行化性を代数的に証明すること。
• $\mathfrak{g}_2$ の構造定数を、八元数の構造定数 $F$ を用いた不変ベクトル場を通じて表現すること。
• $\mathbb{C}_q[S^3]$ のような $q$-deformed 量子群を、カーレイ＝ディクソン過程から得られるコチェーン $F$ を用いて再定式化すること。

提案手法

• ホフプ代数の一般化として、積が非結合的で、コプロダクトが非コアソシエイティブであるホフプ・クェーショーグループとホフプ・コクェーショーグループを定義する。
• カーレイ＝ディクソン構成から得られるコチェーン $F$ を用いて、$k_F\mathbb{Z}_2^n$ と表される、ねじれ付きの群クェーシォーアルゲブラを定義し、これにより八元数を含む合成代数をモデル化する。
• 八元数の $F$-コチェーンを用いて、可換的で非結合的かつムーファン的性質をもつホフプ・コクェーショーグループとしての座標代数 $k[S^7]$ を構成する。
• コプロダクトとアンチポーダル写像を用いて、$k[S^7]$ 上に左および右不変ベクトル場 $D_{ij}$ を定義し、それらの交換子を計算することで、Lie代数の構造を回復する。
• $F$-コチェーンと $\mathcal{R}$-対称性を用いて、$\mathbb{C}[S^{2^n-1}]$ 上に $*$-インボリューションとコプロダクトを定義し、これにより $\mathbb{C}_q[S^3]$ が $*$-ホフプ代数として実現可能であることを示す。
• 具体的なテンソル表現を用いて、$F$、$\psi$、$\mathcal{R}$ を含むムーファン恒等式と非コアソシエイティビティを検証し、Mathematica を用いた数値的確認により妥当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 座標代数 $k[S^7]$ は、自然に非結合的かつ非可換的、かつムーファン的性質をもつホフプ・コクェーショーグループとして記述可能か？
• RQ2 $S^7$ の平行化性は、ホフプ・コクェーショーグループ構造における微分計算を用いた代数的証明で示せるか？
• RQ3 $\mathfrak{g}_2$ の構造定数は、$k[S^7]$ 上の不変ベクトル場を用いて、八元数の構造定数 $F$ から導出可能か？
• RQ4 $\mathbb{C}_q[S^3]$ のような $q$-deformed 量子群は、カーレイ＝ディクソン過程から得られる $F$-コチェーンを用いて再定式化可能か？
• RQ5 複素生成子と $F$-コチェーンを用いた場合、$\mathbb{C}[S^7]$ 上のコプロダクトと $*$-インボリューションの明示的表現は何か？

主な発見

• $k[S^7]$ は可換的で非結合的かつムーファン的性質をもつホフプ・コクェーショーグループであり、八元数の $F$-コチェーンを用いて定義される非コアソシエイティブなコプロダクトを持つ。
• 本稿は、左および右不変ベクトル場が交換子に関して閉じることを示すことにより、$S^7$ の平行化性を短い代数的証明で与える。
• $\mathfrak{g}_2$ の構造定数は、八元数の構造定数 $F$ とアソシエイタ $\psi$ を用いて表現され、$F$-コチェーンから導出された明示的な交換子関係 $[D_{ij}, D_{kl}]$ が得られる。
• $n=2$ の場合、ベクトル場の交換子代数は $\mathfrak{so}(3)$ を再現し、$S^3$ の既知のLie代数構造と整合性が確認される。
• $\mathbb{C}[S^7]$ 上のコプロダクトは、$F$-コチェーンを用いて明示的に計算され、$\Delta z_0 = z_0 \otimes z_0 - \sum_i z_i \otimes z_i^*$ および $\Delta z_i = z_i \otimes z_0^* + z_0 \otimes z_i^* + \sum_{j,k} \varepsilon_{ijk} z_j^* \otimes z_k^*$ として得られる。ここで $F$-コチェーンはクaternionのものである。
• $q$-変形 $\mathbb{C}_q[S^3]$ は、生成子 $z_0, z_1$ が $z_0 z_1 = q z_1 z_0$、$z_0^* z_1 = z_1 z_0^*$、$z_0 z_0^* + z_1 z_1^* = 1$ を満たす $*$-ホフプ代数として実現可能であり、$F$-に基づくコプロダクトと整合的である。