[論文レビュー] Horizontal normal map on the Heisenberg group

Andrea Calogero, R. Pini|ArXiv.org|Nov 14, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、ヘイセンベルク群上の関数における水平部分微分と法写像を導入し、凸関数がすべての点で空でないH-部分微分を持つこと、および厳密に凸な径向関数に対してH-法写像が単調であることの証明を行う。さらに、H-法写像を用いてモンジュ＝アンペール測度を定義し、リーマン的でない設定におけるロッカファラーの積分定理を拡張する。

ABSTRACT

We investigate the notion of H-subdifferential and H-normal map of a function on the Heisenberg group, based on its sub-Riemannian structure. In particular, a characterization of the convexity of a function is given via the nonemptiness of the H-subdifferential at every point.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間における部分微分と法写像の理論を、ヘイセンベルク群の部分リーマン的設定に拡張すること。
• 凸関数の主要な性質—部分微分の空でない性質や法写像の単調性—がヘイセンベルク群上でも成り立つかを検討すること。
• H-法写像を用いてモンジュ＝アンペール測度の定義を提示し、この設定において古典的な積分結果を拡張すること。
• ヘイセンベルク群上における凸関数のロッカファラーの積分公式の部分リーマン的類似を確立すること。

提案手法

• 水平勾配 ∇hu(g) = (Xu(g), Yu(g)) とヘイセンベルク群の水平構造を用いて、水平部分微分 ∂Hu(g) を定義する。
• すべての点 g ∈ ℍ において ∂Hu(g) が空でないことで、凸性を特徴付ける。これはユークリッドの場合の一般化である。
• 追加の正則性条件を満たす厳密に凸な径向関数に対して、H-法写像 ∂Hu が単調であることを証明する。
• ∂Hu によるコンパクト集合の像が V₁ においてコンパクトであることを確立し、ユークリッドの場合と同様の位相的性質を保つ。
• H-法写像によるLebesgue測度の押し出しを用いて、関数 u のモンジュ＝アンペール測度を定義する。
• ロッカファラーの積分公式を拡張し、∫_K |det D_H u| dL^3 = ∫_{∂Hu(K)} |p| dp が成り立つことを示す。ここで D_H u は水平ヘッセ行列である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘイセンベルク群の部分リーマン的構造を用いて、部分微分と法写像の概念を意味的に拡張できるか。
• RQ2 すべての点でH-部分微分が空でないことは、ユークリッド空間と同様に、ヘイセンベルク群上での凸性を特徴付けるか。
• RQ3 追加の正則性条件を満たす厳密に凸な径向関数に対して、H-法写像は単調か。
• RQ4 H-法写像を用いてモンジュ＝アンペール測度を定義し、主要な積分恒等式を保存できるか。
• RQ5 ロッカファラーのモンジュ＝アンペール測度に関する積分公式は、どの程度ヘイセンベルク群上に一般化可能か。

主な発見

• 凸関数に対して、すべての点 g ∈ ℍ においてH-部分微分 ∂Hu(g) が空でない。これはユークリッドの場合の一般化である。
• 水平勾配 X u(g₀) が存在するときかつそのときに限り、g₀ においてH-部分微分はシングルトンである。
• 追加の正則性条件を満たす厳密に凸な径向関数に対して、H-法写像は単調である。
• 任意のコンパクト部分集合 K ⊂ ℍ に対して、H-法写像 ∂Hu による像は V₁ のコンパクト部分集合である。
• 関数 u のモンジュ＝アンペール測度は、H-法写像によるLebesgue測度の押し出しを用いて定義できる。
• ロッカファラーの積分公式の拡張が成り立つ：任意のコンパクト集合 K ⊂ ℍ に対して、∫_K |det D_H u| dL^3 = ∫_{∂Hu(K)} |p| dp が成り立つ。