[論文レビュー] Horizontal variation of Tate--Shafarevich groups

Ashay Burungale, Haruzo Hida+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、虚二次体上の理想類指標による twist を通じて、有理数体上の楕円曲線の Tate--Shafarevich群の $p$-部の水平的変動を調査する。ハーモニック形式を用いたハッセ・ゼータ関数、ホッジ・サイクルとヘーゲナー点のオイラー系、およびシュムール集合上の等分布定理を用いることで、$p$ と体 $K$ にややきつい条件を課した下で、$\mathfrak{p}_\chi$-部が自明となる $p$-正則指標 $\chi$ の数が、判別式 $D_K$ に対して少なくとも $ (\ln |D_K|)^{1-\epsilon} $ のオーダーで増加することを示す。これは $\mathrm{GL}_2$-型モチーフの文脈におけるカウマーの正則性の水平的類似を確立する。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve over $\mathbb{Q}$. Let $p$ be an odd prime and $ι: \overline{\mathbb{Q}}\hookrightarrow \mathbb{C}_p$ an embedding. Let $K$ be an imaginary quadratic field and $H_{K}$ the corresponding Hilbert class field. For a class group character $χ$ over $K$, let $\mathbb{Q}(χ)$ be the field generated by the image of $χ$ and $\mathfrak{p}_χ$ the prime of $\mathbb{Q}(χ)$ above $p$ determined via $ι_p$. Under mild hypotheses, we show that the number of class group characters $χ$ such that the $χ$-isotypic Tate--Shafarevich group of $E$ over $H_{K}$ is finite with trivial $\mathfrak{p}_χ$-part increases with the absolute value of the discriminant of $K$.

研究の動機と目的

• 固定された導手と無限型を持つ虚二次体 $K$ を変化させることで、$\mathbb{Q}$ 上の $\mathrm{GL}_2$-型アーベル多様体の $p$-部の Tate--Shafarevich群の水平的変動を研究すること。
• カウマーの $p$-正則性の概念を、類群から、ヒルベルト類体上の楕円曲線の $\chi$-等型成分への一般化すること。
• 判別式 $|D_K|$ と共に増加する、$\mathfrak{p}_\chi$-部が自明となる $p$-正則指標 $\chi$ の数に対する下界を確立すること。
• この水平的族において、解析的 Sha の $p$-部（Birch--Swinnerton-Dyer予想により予測されるもの）と代数的 Tate--Shafarevich群の両方の統一的取り扱いを図ること。

提案手法

• 定義的および不定的クaternion代数上の自動形式理論を用いて、$L$-関数の特別値とモチーフの算術的不変量との関係を確立する。
• トーラス周期とヘーゲナー点のオイラー系を用いて、$p$-進 $L$-関数を構成し、$\chi$-等型成分の $p$-進付値を制御する。
• 定義的クォータニオン代数から生じるシュムール集合上の特別点の等分布定理（Michelの定理）を適用し、$\chi$-等型成分の分布を制御する。
• 不定的クォータニオン代数から生じるシュムール曲線上の特別点のザリスキ・デュアリティを用いて、$p$-進 $L$-関数およびヘーゲナー点の非消滅を保証する。
• $p$-進 $L$-関数の非消滅とガロア表現の構造を用いて、ヘーゲナー点の $p$-非可除性を分析する。
• Bloch--Kato予想とMazur--Wiles定理を用いて、解析的 Sha の $p$-最小性と代数的 Tate--Shafarevich群の $\mathfrak{p}_\chi$-部の自明性との間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 虚二次体 $K$ の判別式 $D_K$ と共に、$\mathfrak{p}_\chi$-部が自明となる $p$-正則指標 $\chi$ の数はどのように増加するか？
• RQ2 トーラス周期とヘーゲナー点のオイラー系を用いることで、Tate--Shafarevich群の $p$-部の水平的変動を制御できるか？
• RQ3 定義的クォータニオン代数から生じるシュムール集合上の特別点の等分布は、$K$ の類群における $p$-正則指標の分布にどの程度影響を与えるか？
• RQ4 この族において、Birch--Swinnerton-Dyer予想により予測される解析的 Sha の $p$-部と、$\chi$-等型代数的 Tate--Shafarevich群との関係は何か？
• RQ5 $p$、$K$、およびガロア表現 $\rho_{A,\mathfrak{p}}$ に対してどのような条件下で、$p$-正則指標の数が $\ln |D_K|$ のべきの下限で与えられるか？

主な発見

• $p$ と $K$ にややきつい仮定を課した下で、$\chi \in \widehat{\mathrm{Cl}}_K$ で $\cyr X(E/H_K)^\chi$ の $\mathfrak{p}_\chi$-部が自明となる $p$-正則指標の数は、任意の $\epsilon > 0$ に対して少なくとも $ (\ln |D_K|)^{1-\epsilon} $ のオーダーで増加する。
• この増加率は、同じ条件下で解析的 Sha（Birch--Swinnerton-Dyer予想による予測）と代数的 Tate--Shafarevich群の両方に対して一様に成り立つ。
• この結果は、シュムール曲線上の特別点のザリスキ・デュアリティにより保証される、ヘーゲナー点およびトーラス周期に関連する $p$-進 $L$-関数の非消滅によって確立される。
• $p$-正則性条件は、$\mathbb{Q}(\chi)$ の $\chi$-等型類群が $\mathfrak{p}_\chi$-部を自明にすることと同値であり、カウマーの $p$-正則性の概念を一般化する。
• 主な技術的道具は、定義的クォータニオン代数のシュムール集合上の特別点の Michel の等分布定理と、$p$-進 $L$-関数の非消滅に基づくヘーゲナー点の $p$-非可除性である。
• この境界は、根数が $+1$ および $-1$ の両方のケースに対して一様であり、トーラス周期とヘーゲナー点のフレームワークにおいて、別個だが平行な議論に依拠している。