[論文レビュー] Hormander condition for Fourier multipliers on compact Lie groups

Véronique Fischer|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなリー群上の行列値記号にホルムァン型の条件を群フーリエ変換を用いて導入することにより、コンパクトなリー群上でのLp乗数定理を確立する。同定理は、ユニタリ双対上に斉次ソボレフ空間を定義し、この条件が乗数作用素のLp有界性を示すことを証明するが、これは鋭いものである。さらに、ミリンとマルチンキエヴィチ型の定理がこの結果の帰結として得られる。

ABSTRACT

In this paper, we show Lp-multiplier theorems on any compact Lie group G. The multiplier operators are given via the group Fourier transforms and the symbols are fields of matrices on the unitary dual of G. We develop structures on this dual, such as homogeneous Sobolev spaces. These allow us to define a condition of Hormander type which we show implies the Lp-boundedness of the corresponding operators and is sharp. We also obtain multiplier theorems of Mihlin and Marcinkiewicz types as a consequence.

研究の動機と目的

• 古典的設定を超えて、コンパクトなリー群上でのLp乗数定理を拡張すること。
• コンパクトなリー群のユニタリ双対上における行列値記号のホルムァン型条件を定義すること。
• この条件を用いて、フーリエ乗数作用素の鋭いLp有界性を確立すること。
• 主結果の帰結として、ミリン型およびマルチンキエヴィチ型の乗数定理を導出すること。

提案手法

• コンパクトなリー群のユニタリ双対上での行列値記号を用いて、乗数作用素を表現するために群フーリエ変換を用いる。
• 記号の滑らかさを測るため、ユニタリ双対上に斉次ソボレフ空間を構築する。
• ユニタリ双対上での記号の可積分性および減衰性に関するホルムァン型の条件を定義する。
• この条件が対応する乗数作用素のLp有界性を示すことを証明する。
• 反例または双対性の議論を用いて、この条件の鋭さを確立する。
• 主なホルムァン型結果を用いて、ミリン型およびマルチンキエヴィチ型の定理を推論として得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリー群のユニタリ双対上での行列値記号にどのような条件を課すと、関連するフーリエ乗数作用素のLp有界性が保証されるか？
• RQ2 コンパクトなリー群のユニタリ双対上に、どのようにして斉次ソボレフ空間を定義し、それを意味的に有用に使用できるか？
• RQ3 ユニタリ双対上でのホルムァン型条件が、コンパクトなリー群における鋭いLp乗数定理を導くことができるか？
• RQ4 古典的なミリン型およびマルチンキエヴィチ型乗数定理は、コンパクトなリー群の設定にどの程度一般化可能か？
• RQ5 非アーベル的かつ非ユークリッド的設定において、Lp有界性のためのホルムァン型条件は最適か？

主な発見

• コンパクトなリー群のユニタリ双対上でのホルムァン型条件が、関連するフーリエ乗数作用素のLp有界性を保証する。
• この条件は鋭い。つまり、条件を弱めると一般にはLp有界性が成立しなくなる。
• 記号の滑らかさを測るため、ユニタリ双対上に斉次ソボレフ空間を構築し、乗数条件の関数解析的枠組みを提供する。
• ミリン型およびマルチンキエヴィチ型の乗数定理は、主なホルムァン型結果の帰結として再現される。
• この枠組みは、すべてのコンパクトなリー群に一様に適用可能であり、ユークリッド調和解析からの古典的結果を一般化する。