[論文レビュー] How behave the typical $L^q$-dimensions of measures?

Frédéric Bayart|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Baireカテゴリーゲニリシティを用いて、コンパクト集合 $K \subset \mathbb{R}^d$ に台を持つ確率測度の典型的な上・下 $L^q$-次元を特定する。典型的な測度に対して、$q$ と $K$ の幾何的不変量（例えば、一様局所的上付近ボックス次元および上付近ボックス次元）に依存する特定の値に $L^q$-次元が等しくなることを確立し、Olsenの研究で残された未解決問題を解消し、$q < 1$ および $q < 0$ におけるこれらの次元の振る舞いに関する予想を裏付ける。主な貢献は、すべての $q \in \mathbb{R}$ における典型的な $L^q$-次元の完全な特徴付けであり、$L^q$-積分関数への半連続性および中間値定理の応用により、明確な値が導出される。

ABSTRACT

We compute, for a compact set $K\subset\mathbb R^d$, the value of the upper and of the lower $L^q$-dimension of a typical probability measure with support contained in $K$, for any $q\in\mathbb R$. Different definitions of the "dimension" of $K$ are involved to compute these values, following $q\in\mathbb R$.

研究の動機と目的

• コンパクト集合 $K \subset \mathbb{R}^d$ 上の確率測度の典型的な上・下 $L^q$-次元を、Baireカテゴリートポロジーのもとで特定すること。
• Olsenの先行研究で残された未解決問題を解消すること、特に $q < 1$ および $q < 0$ における $L^q$-次元の振る舞いに関して、$\underline{D}_\mu(q) = 0$ および $\overline{D}_\mu(q) = +\infty$ であるという彼の予想を含む。
• 新たな幾何的不変量、例えば一様局所的上付近ボックス次元 $s_u = \overline{\dim}_{B,\text{loc},\text{unif}}(K)$ および分離次元 $s_{\text{sep}} = \operatorname{bsi}(K)$ を導入・利用し、典型的な $L^q$-次元を特徴付けること。

提案手法

• 『典型的』な測度を、$\mathcal{P}(K)$ 上の弱位相における稠密な $G_\delta$ 集合に属するものとして定義するBaireカテゴリーパラダイムを用いる。
• $q \neq 1$ の場合、$L^q$-次元は積分 $I_\mu(r,q) = \int_K \mu(B(x,r))^{q-1} \, d\mu(x)$ の漸近的挙動に基づき定義され、$q = 1$ の場合は対数的変種を用いる。次元は、$r \to 0$ のときの $\frac{1}{q-1} \frac{1}{\log r} \log I_\mu(r,q)$ の極限下限および上限から得られる。
• 主な技術的道具は、半連続関数に適用可能な中間値定理であり、特に、$r \mapsto \frac{1}{q-1} \frac{\log I_\mu(r,q)}{\log r}$ が右から上半連続かつ左から下半連続であるという性質を有する Lemma 7.4 を適用する。
• 本稿では、$s_{\text{sep}} = \operatorname{bsi}(K)$（ボックス分離指数）および $s_u = \overline{\dim}_{B,\text{loc},\text{unif}}(K)$（一様局所的上付近ボックス次元）という2つの新しい幾何的不変量を定義し、これらが異なる $q$ 範囲における典型的な $L^q$-次元を支配することを示す。
• 証明では、特定の区間 $E_q$ 内の任意の $\tau$ に対して、$r_n \to 0$ となる列 $\{r_n\}$ が存在し、$L^q$-次元の式が $\tau$ に収束することを示しており、これは $I_\mu(r,q)$ の連続性および半連続性の性質に基づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Baireカテゴリートポロジーのもとで、コンパクト集合 $K \subset \mathbb{R}^d$ 上の確率測度の典型的な上・下 $L^q$-次元は何か？
• RQ2 Olsenの予想である、$q < 1$ に対して $\underline{D}_\mu(q) = 0$ かつ $q < 0$ に対して $\overline{D}_\mu(q) = +\infty$ であることは、典型的な測度に対しても成り立つか？
• RQ3 任意の $q \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ に対して、上付き $L^q$-次元が定数 $f(q)$ に等しくなるかどうかを特定でき、その $f(q)$ が $K$ の幾何的不変量でどのように表現されるか？
• RQ4 新しい不変量 $s_{\text{sep}} = \operatorname{bsi}(K)$ および $s_u = \overline{\dim}_{B,\text{loc},\text{unif}}(K)$ は、異なる $q$-範囲における典型的な $L^q$-次元とどのように関係しているか？

主な発見

• $q > 1$ の場合、典型的な測度は $\underline{D}_\mu(q) = 0$ および $\overline{D}_\mu(q) = s_u$ を満たす。ここで $s_u = \overline{\dim}_{B,\text{loc},\text{unif}}(K)$ は $K$ の一様局所的上付近ボックス次元である。
• $q \in (0,1)$ の場合、典型的な測度は $\underline{D}_\mu(q) = 0$ および $\overline{D}_\mu(q) = s$ を満たす。ここで $s = \overline{\dim}_B(K)$ は $K$ の上付近ボックス次元である。
• $q = 0$ の場合、典型的な測度は $\underline{D}_\mu(0) = s_{\text{sep}}$ および $\overline{D}_\mu(0) = s$ を満たす。ここで $s_{\text{sep}} = \operatorname{bsi}(K)$ は $K$ のボックス分離指数である。
• $q < 0$ の場合、典型的な測度は $\underline{D}_\mu(q) = s_{\text{sep}}$ および $\overline{D}_\mu(q) = +\infty$ を満たし、Olsenの予想を確認する。
• 任意の $q \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ および $E_q$ に属する任意の $\tau$ に対して、$r_n \to 0$ となる列 $\{r_n\}$ が存在し、$\frac{1}{(q-1)\log r_n} \log I_\mu(r_n,q) \to \tau$ となる。これにより、典型的な測度において $L^q$-次元が所定の区間内の任意の値を実現できることを示している。