[論文レビュー] How Complex Contagions Spread and Spread Quickly.

Roozbeh Ebrahimi, Jie Gao+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2014

Complex Network Analysis Techniques参考文献 46被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、$k$-複雑伝染病—ノードが感染するには$k$個の感染済みの隣接ノードが必要—が、preferential attachmentモデルやcopyモデルのような時変化するネットワークでも、初期の種が最も古いノードである場合、$O(\log n)$ステップで全ネットワークに広がることを示している。主な洞察は、パワー則的次数分布よりも、進化的なネットワーク構造が高速な広がりを可能にするということであり、ランダムな初期種では早期に停止してしまう。

ABSTRACT

In this paper, we study the spreading speed of complex contagions in a social network. A $k$-complex contagion starts from a set of initially infected seeds such that any node with at least $k$ infected neighbors gets infected. Simple contagions, i.e., $k=1$, quickly spread to the entire network in small world graphs. However, fast spreading of complex contagions appears to be less likely and more delicate; the successful cases depend crucially on the network structure~\cite{G08,Ghasemiesfeh:2013:CCW}. Our main result shows that complex contagions can spread fast in a general family of time-evolving networks that includes the preferential attachment model~\cite{barabasi99emergence}. We prove that if the initial seeds are chosen as the oldest nodes in a network of this family, a $k$-complex contagion covers the entire network of $n$ nodes in $O(\log n)$ steps. We show that the choice of the initial seeds is crucial. If the initial seeds are uniformly randomly chosen in the PA model, even with a polynomial number of them, a complex contagion would stop prematurely. The oldest nodes in a preferential attachment model are likely to have high degrees. However, we remark that it is actually not the power law degree distribution per se that facilitates fast spreading of complex contagions, but rather the evolutionary graph structure of such models. Some members of the said family do not even have a power-law distribution. We also prove that complex contagions are fast in the copy model~\cite{KumarRaRa00}, a variant of the preferential attachment family. Finally, we prove that when a complex contagion starts from an arbitrary set of initial seeds on a general graph, determining if the number of infected vertices is above a given threshold is $\mathbf{P}$-complete. Thus, one cannot hope to categorize all the settings in which complex contagions percolate in a graph.

研究の動機と目的

• 複雑伝染病—複数の感染済みの隣接ノードを必要とする—が、どのようなネットワーク構造で高速に広がるかを理解すること。
• ネットワークの進化と初期種選択が、複雑伝染病の高速な広がりを可能にする役割を調査すること。
• 高速な広がりの背後にある要因がパワー則的次数分布か、それともpreferential attachmentのようなモデルの進化的グラフ構造かを特定すること。
• 複雑伝染病が閾値以上のノード数を感染させるかどうかを予測する問題の計算的困難性を確立すること。

提案手法

• preferential attachmentモデルとcopyモデルにおける時間変化するネットワークを分析し、これらは優先的付加と複写メカニズムに従って成長する。
• 初期種として最も古いノードを選択することで、$k$-複雑伝染病が$O(\log n)$ステップで全ネットワークに感染させられることを証明する。
• ランダムな初期種選択ですら、多項式数の初期種であっても、preferential attachmentモデルでは伝染病が早期に停止することを示す。
• パワー則的次数分布よりも、進化的なグラフ構造が高速な広がりを可能にしていることを示し、一部のモデルはパワー則的挙動を示さないにもかかわらず、同様の広がりを示す。
• 計算複雑性理論を用いて、一般のグラフ上で複雑伝染病が閾値以上のノード数を感染させるかどうかを決定することは$\mathbf{P}$-完全であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 preferential attachmentモデルのような時変化するネットワークにおいて、$k$-複雑伝染病は高速に広がるのか？
• RQ2 なぜ初期種選択—特に最も古いノードを選択すること—が高速な広がりをもたらすのか、一方でランダムな初期種では失敗するのか？
• RQ3 高速な広がりの主な駆動要因はパワー則的次数分布か、それとも進化的なネットワーク構造か？
• RQ4 複雑伝染病が広がる（percolateする）すべてのグラフ設定を分類できるか？ また、その予測の計算複雑性はいかなるものか？

主な発見

• 初期種がネットワーク内で最も古いノードである場合、$k$-複雑伝染病は$n$ノードのネットワーク全体に$O(\log n)$ステップで広がる。
• ランダムに選ばれた初期種、たとえ多項式数であっても、preferential attachmentモデルでは伝染病が早期に停止してしまう。
• 時間変化するネットワークの進化的グラフ構造が、パワー則的次数分布よりも、複雑伝染病の高速な広がりを可能にする要因である。
• copyモデル—preferential attachmentの亜種—も、同様の初期種条件のもとで、$k$-複雑伝染病の高速な広がりを支持する。
• 一般のグラフ上で、複雑伝染病が与えられた閾値以上のノード数を感染させるかどうかを決定することは$\mathbf{P}$-完全であるため、一般には効率的な分類は不可能である。