[論文レビュー] How constructive is constructing measures?

Arno Pauly, Willem L. Fouché|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Weihrauch還元を用いて、指定された台を持つ測度を構成する際の計算的複雑性を調査し、正のハウスドルフ次元をもつ集合上のフロストマン測度に焦点を当てる。測度を構成する問題が計算的強度において極限作用素と同等であることが示され、計算可能で閉かつオーバーな集合であっても、正の次元をもつ場合に限り、計算可能フロストマン測度をもつとは限らないことが示されている。

ABSTRACT

Given some set, how hard is it to construct a measure supported by it? We classify some variations of this task in the Weihrauch lattice. Particular attention is paid to Frostman measures on sets with positive Hausdorff dimension. As a side result, the Weihrauch degree of Hausdorff dimension itself is determined.

研究の動機と目的

• 指定された台を持つ測度を構成する際の計算的内容をWeihrauchラティスの枠組みを用いて分類すること。
• フロストマンの補題およびその変種の有効的内容を分析し、特に正のハウスドルフ次元をもつ集合に計算可能測度が存在するかどうかを検討すること。
• ハウスドルフ次元関数自体のWeihrauch次数を特定すること。
• 測度構成および計算可能フロストマン測度の存在という文脈において、計算可能で閉かつオーバーな集合の違いを調査すること。
• 計算可能な設定における普遍的測度ゼロ集合の有効的性質を調査し、特に正のハウスドルフ次元をもつものについて検討すること。

提案手法

• 測度構成問題の計算的強度を比較するため、Weihrauch還元の枠組みを用いる。
• 異なる定義域上の問題を共通の空間に埋め込むためにスケーリング操作を用い、特に集合を二進区間に写像することで測度論的性質を保存する。
• 既知のWeihrauch次数（例えば閉選択や極限作用素）との間で測度構成問題の還元を確立する。
• 代表化された空間における閉集合およびオーバー集合の表現を用いて、集合的演算の計算可能性および連続性を形式化する。
• UTM定理および関数空間構成を用いて、代表化された空間の圏における計算可能汎関数および実現者をモデル化する。
• 具体的な実現者および還元を構成することで、測度構成問題と極限作用素との間の同等性を示し、特に[0,1]におけるコンパクトかつオーバー集合を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたオーバー集合の台を持つ測度を構成する問題のWeihrauch次数は何か。特に、台が閉集合またはオーバー集合である場合にどうか。
• RQ2 正のハウスドルフ次元をもつ集合にフロストマン測度を構成する際の計算的複雑性は、他の既知の計算問題と比べてどうか。
• RQ3 正のハウスドルフ次元をもつ計算可能な閉かつオーバー集合が、計算可能なフロストマン測度をもたないことはあり得るか。
• RQ4 多価関数として見たハウスドルフ次元関数の計算的強度は何か。
• RQ5 有効的概念（例えば「計算可能に普遍的測度ゼロ」や「算術的に普遍的測度ゼロ」）は、非可算集合に計算可能測度が存在するのをどの程度左右するか。

主な発見

• 与えられたオーバー集合と正確に一致する台を持つ測度を構成する問題は計算可能であるが、一般に閉集合に台を持つ測度を構成する問題は計算可能ではない。
• ハウスドルフ次元関数のWeihrauch次数は極限作用素と同等であることが示された。
• 正のハウスドルフ次元をもつ集合にフロストマン測度を構成する問題は、極限作用素とWeihrauch同等である。すなわち、$\lim \equiv_{\textrm{W}} \operatorname{StrictFrost}$。
• ハウスドルフ次元が1である計算可能な閉かつオーバー集合であっても、計算可能な非原子的Radon測度をもたないものがある。これは、正の次元があるからといって測度の計算可能構成が保証されないことを示している。
• 集合Aが計算可能s-フロストマン測度をもつための必要十分条件は、任意の二進区間Iに対して、$I \cap A = \emptyset$ または $A \cap I$ が $\mu(I \cap A) \geq 2^{-p(-\log|I|)}$ を満たすs-フロストマン測度をもつような計算可能列$p$が存在することである。
• 与えられた閉集合に台を持つ測度を構成する問題は、$\mathbb{N}$ 上の閉選択と$[0,1]$ 上の閉選択の組み合わせとWeihrauch同等である。すなわち、$\textrm{C}_{\mathbb{N}} \times \textrm{C}_{[0,1]} \equiv_{\textrm{W}} \operatorname{Frost}$。