[論文レビュー] How far can the generalized second law be generalized?

P. C. W. Davies, T. M. Davis|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2003

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正の宇宙定数を伴うフレーメン＝ロバートソン＝ウォーカー（FRW）宇宙における宇宙的イベントホライズンに一般化第二法則（GSL）を拡張した場合の有効性を検証する。解析的および数値的手法を用いて、ブラックホールと宇宙的ホライズンのエントロピーの合計が時間とともに単調に増加することを示し、ブラックホールが宇宙的ホライズンより小さい限り、動的で膨張する宇宙でもGSLが成立することを確認した。

ABSTRACT

Jacob Bekenstein's identification of black hole event horizon area with entropy proved to be a landmark in theoretical physics. In this paper we trace the subsequent development of the resulting generalized second law of thermodynamics (GSL), especially its extension to incorporate cosmological event horizons. In spite of the fact that cosmological horizons do not generally have well-defined thermal properties, we find that the GSL is satisfied for a wide range of models. We explore in particular the case of an asymptotically de Sitter universe filled with a gas of small black holes as a means of casting light on the relative entropic 'worth' of black hole versus cosmological horizon area. We present some numerical solutions of the generalized total entropy as a function of time for certain cosmological models, in all cases confirming the validity of the GSL.

研究の動機と目的

• 一般化第二法則（GSL）をブラックホールのイベントホライズンから、正の宇宙定数を伴う膨張するFRW宇宙における宇宙的イベントホライズンに拡張すること。
• 正の宇宙定数を伴うモデルにおいて、ブラックホールと宇宙的ホライズンのエントロピーの合計が時間とともに非減少のまま保たれるかを調査すること。
• 漸近的にデ de Sitter 宇宙における、ブラックホールと宇宙的ホライズンの相対的エントロピー寄与度を評価すること。
• 非定常的で動的な宇宙的時空におけるGSLを支持する数値的および解析的証拠を提供すること。
• ダークエネルギー支配の宇宙におけるブラックホールの蒸発とホライズンの進化のダイナミクスとGSLを調和させること。

提案手法

• 面積則 $ \dot{S}_{\rm c} = \dot{A}_{\rm c}/4 $ を用いて、宇宙的ホライズンエントロピーの時間変化率を導出する。ここで $ A_{\rm c} $ は宇宙的イベントホライズンの面積を表す。
• 共動座標系における小さなブラックホールのガスを仮定し、エネルギー密度 $ \rho_{\rm bh} $ と数密度 $ n_{\rm bh} $ を用いてブラックホールエントロピーの進化をモデル化する。
• フレーメン方程式（式11および12）を用いて、$ \Omega_M = 0.3 $、$ \Omega_\Lambda = 0.7 $ または $ 1.4 $ のFRWモデルにおけるスケール因子とハッブルパラメータの時間的進化を記述する。
• 全ブラックホール面積を $ A_{\rm bh}^{\rm total} = 64\pi^2 M_{\rm bh} \rho_{\rm bh} / (3H^3) $ とし、その時間微分を計算してエントロピー損失を評価する。
• GSLの条件 $ \dot{A}_{\rm bh}^{\rm total} + \dot{A}_{\rm c} \geq 0 $ を課し、不等式 $ M_{\rm bh} \lesssim 1/H $、すなわち $ r_{\rm bh} \lesssim r_{\rm c} $ が得られる。
• 特に $ \Omega_\Lambda = 1.4 $ の閉じた宇宙を含む特定の宇宙モデルについて、時間にわたるエントロピー進化の数値シミュレーションを実施し、全エントロピーの単調増加を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の宇宙定数を伴う膨張するFRW宇宙における宇宙的イベントホライズンに対して、一般化第二法則（GSL）は成立するか？
• RQ2 全エントロピー（ブラックホールと宇宙的ホライズンエントロピーの和）が時間とともに非減少のまま保たれる条件は何か？
• RQ3 デ de Sitter 的な宇宙における、小さなブラックホールのエントロピー寄与度と宇宙的ホライズンのエントロピー寄与度の比較はいかがなっているか？
• RQ4 加速膨張を経験する非定常時空において、GSLは動的に満たされるか？
• RQ5 GSLは、ブラックホールのサイズが宇宙的ホライズンに対してどの程度の制限を課すか？

主な発見

• 検証されたFRWモデルすべてにおいて、一般化第二法則（GSL）は常に成立しており、全エントロピーが宇宙時間とともに単調に増加することが確認された。
• エネルギー密度 $ \Omega_M = 0.3 $、$ \Omega_\Lambda = 0.7 $ の放射支配のFRW宇宙についての数値解は、宇宙的ホライズンエントロピーの増加がホライズンを越えて損失する放射エントロピーを上回ることを確認し、GSLの維持を示した。
• $ \Omega_\Lambda = 1.4 $ の閉じた宇宙では、宇宙的イベントホライズンが有限時間に形成され、ホライズン出現以降、全エントロピーは単調に増加する。
• 解析的に導かれた条件 $ M_{\rm bh} \lesssim 1/H $（または $ r_{\rm bh} \lesssim r_{\rm c} $）は、GSLが成立する十分条件であることが示され、小さなブラックホールが法則に違反しないことを示した。
• ブラックホールが蒸発して面積を失っても、そのサイズが宇宙的ホライズンより小さい限り、ホライズン面積の増加がエントロピー損失を相殺するため、GSLは成立する。
• 結果は、漸近的にデ de Sitter 時空におけるホライズン面積の非減少に関するより広範な定理を支持・図示しており、GSLが漸近的ではなく、研究されたモデルにおいてすべての時間で動的に成立することを確認した。