[論文レビュー] How Far Should the Principle of Relativity Go ?

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Oct 1, 2007

Mathematical and Theoretical Analysis被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、物理学を実数や複素数に制限するのではなく、非アーベル代数（例えば、縮小冪代数など）のクラスにまで原則の相対性を拡張することを提案する。体に代えてより一般的な代数を用いることで、無限大や発散を自然に扱えるより深く広い物理法則の定式化が可能となり、理論物理学における長年の無限大問題への新たな解決道筋を提供する。

ABSTRACT

The Principle of Relativity has so far been understood as the {\it covariance} of laws of Physics with respect to a general class of reference frame transformations. That relativity, however, has only been expressed with the help of {\it one single} type of mathematical entities, namely, the scalars given by the usual continuum of the field $\mathbb{R}$ of real numbers, or by the usual mathematical structures built upon $\mathbb{R}$, such as the scalars given by the complex numbers $\mathbb{C}$, or the vectors in finite dimensional Euclidean spaces $\mathbb{R}^n$, infinite dimensional Hilbert spaces, etc. This paper argues for {\it progressing deeper and wider} in furthering the Principle of Relativity, not by mere covariance with respect to reference frames, but by studying the possible covariance with respect to a {\it large variety} of algebras of scalars which extend significantly $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$, variety of scalars in terms of which various theories of Physics can equally well be formulated. First directions in this regard can be found naturally in the simple Mathematics of Special Relativity, the Bell Inequalities in Quantum Mechanics, or in the considerable amount of elementary Mathematics in finite dimensional vector spaces which occurs in Quantum Computation. The large classes of algebras of scalars suggested, which contain $\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}$ as particular cases, have the important feature of typically {\it no longer} being Archimedean, see Appendix, a feature which can prove to be valuable when dealing with the so called "infinities" in Physics. The paper has a Comment on the so called "end of time".

研究の動機と目的

• 物理理論が実数または複素数スカラーに限定されるという仮定に挑戦し、これらはアーベル的であり無限大の大きさを区別できない。
• 理論物理学がアーベル的構造への未検討の依存によって縛られており、量子場理論や一般相対性理論における無限大の問題が根強く残っていることを主張する。
• 相対性原理を参照枠変換における共変性から、物理理論に用いられるスカラーの代数的構造の変更における共変性へ一般化すべきだと提唱する。
• 行列代数や縮小冪代数といった非アーベル代数が、従来のスカラー体とは異なり、数学的に豊かで物理的に意味のある代替手段として有効であることを示す。
• ポントリャーギンの定理が制限する体構造の要請を放棄することで、非アーベル的で無限大の取り扱いに適した、はるかに広い代数のクラスにアクセス可能であることを示す。

提案手法

• 実数または複素数の列から構成される縮小冪代数を、超フィルターによる商をとることで非アーベル代数にし、R および C が部分構造として含まれるようにする。
• 体よりも制限の少ない代数的構造（非可逆元を許容）を用い、行列代数を物理的理論に適したスカラー系として利用可能にする。
• R^N などの列空間に部分順序 ≼ を導入し、非アーベル的性質を定義する。ここで、x ≠ 0 であってもすべての n ∈ N に対して nx ≼ y となる。
• R^n に辞書式順序、R^N に成分ごとの順序を導入した場合、アーベルの性質（ARCH）を満たさないことが示され、非アーベル的であることが証明される。
• ポントリャーギンの定理を用いて、非離散体は R、C、H のみであり、H でさえもアーベル的であるため、体の枠組みで R および C を超えることは数学的に不可能であると主張する。
• 物理理論をこれらの非アーベル代数で再定式化可能であり、物理的内容を保持しつつ、無限大や発散のより洗練された取り扱いが可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理理論に用いられるスカラーの代数的構造の変更における共変性を含めた、参照枠変換における共変性を超えた相対性原理の拡張は可能か？
• RQ2 なぜ標準的な物理理論は常に無限大に直面するのか？これは R や C のようなアーベル的スカラー体の使用に起因するのだろうか？
• RQ3 R や C の代わりに非アーベル的で、物理法則の定式化に十分な豊かさを持つ数学的代替手段は存在するのか？
• RQ4 物理理論において体構造を放棄してより一般的な代数を採用することの数学的・物理的意義は何か？
• RQ5 縮小冪代数のような非アーベル代数は、量子力学、相対性理論、量子場理論を再表現するための一貫性があり有用なフレームワークを提供できるか？

主な発見

• 縮小冪代数や行列代数を含む非アーベル代数のクラスは、アーベル的体のクラスよりもはるかに大きく、数学的空間においてはほとんど無視できるほどの小さな部分集合である。
• n ≥ 2 の行列代数は非可逆元を含むため体ではないが、加法・減法・乗法・除法（ゼロ行列式を除く）が定義され、物理的定式化に適している。
• 標準的な部分順序のもとで、R^N などの無限次元空間や、R^2 に辞書式順序を導入した有限次元空間では、アーベルの性質（ARCH）が成立しないことが示され、アーベル的構造が稀であることが証明される。
• R^N に部分順序 ≼ を導入することで、x ≠ 0 であってもすべての n ∈ N に対して nx ≼ y となるような列 x, y が存在し、(ARCH+) が破られる。これにより非アーベル的性質が証明される。
• ポントリャーギンの定理により、非離散体は R、C、H のみであり、これらすべてがアーベル的であるため、非アーベル的構造は体ではありえない。したがって、代数に移行する必要がある。
• 本稿は、R や C のようなアーベル的体に制限することは自然的でも必然的でもなく、理論物理学の範囲を制限し、無限大の問題を根強く残す任意の制限であると結論づける。