[論文レビュー] How hard is it to approximate the Jones polynomial?

Greg Kuperberg|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用数 67

ひとこと要約

この論文は、非格子根の単位根におけるジョーンズ多項式の近似が、任意の値を区別する近似において#P困難であることを証明している。これは、固定された 0 < a < b に対して |V(L,t)| が a より小さいか b より大きいのかを区別する場合でさえも同様である。この結果は、量子計算の普遍性、アーロンソンの PostBQP = PP 定理、およびソロベイ＝キタイエフの定理を組み合わせることで、このような近似が#Pの全能力を捉えていることを示しており、#P ⊆ FP でない限り、効率的な古典的近似はあり得ないことを示唆している。

ABSTRACT

Freedman, Kitaev, and Wang [arXiv:quant-ph/0001071], and later Aharonov, Jones, and Landau [arXiv:quant-ph/0511096], established a quantum algorithm to "additively" approximate the Jones polynomial V(L,t) at any principal root of unity t. The strength of this additive approximation depends exponentially on the bridge number of the link presentation. Freedman, Larsen, and Wang [arXiv:math/0103200] established that the approximation is universal for quantum computation at a non-lattice, principal root of unity; and Aharonov and Arad [arXiv:quant-ph/0605181] established a uniform version of this result. In this article, we show that any value-dependent approximation of the Jones polynomial at these non-lattice roots of unity is #P-hard. If given the power to decide whether |V(L,t)| &gt; a or |V(L,t)| &lt; b for fixed constants a &gt; b &gt; 0, there is a polynomial-time algorithm to exactly count the solutions to arbitrary combinatorial equations. In our argument, the result follows fairly directly from the universality result and Aaronson's theorem that PostBQP = PP [arXiv:quant-ph/0412187].

研究の動機と目的

• 非格子根の単位根におけるジョーンズ多項式の近似の計算的困難性を確立すること。
• これらの根におけるジョーンズ多項式の任意の値を区別する近似が#P困難であることを示すこと。
• 量子計算とリンク不変量の文脈において、アーロンソンの PostBQP = PP 定理およびソロベイ＝キタイエフの定理を明確化・一般化すること。
• 平面グラフにおけるチューティー多項式の特定の値へのハードネス結果を拡張すること。
• ジョーンズ多項式を計算するためのモース型アルゴリズムの最適性を調査すること。

提案手法

• フリードマン、ラーセン、ワンが確立したように、非格子根の単位根におけるジョーンズ多項式の量子計算における普遍性を利用する。
• アーロンソンの定理（PostBQP = PP）を適用し、量子決定問題と数え上げ複雑性を結びつける。
• ソロベイ＝キタイエフの定理を用いて、非格子根の単位根における有限のゲート集合で任意の量子ゲートをシミュレートする。
• 固定された 0 < a < b に対して、|V(L,t)| < a と |V(L,t)| > b を区別する決定問題への#P完全問題の帰着を行う。
• 非格子根の単位根におけるジョーンズ多項式評価を用いて、#P困難問題をシミュレートする量子回路を構築する。
• チューティー多項式からジョーンズ多項式への既知の帰着を活用して、議論をチューティー多項式へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非格子根の単位根におけるジョーンズ多項式の近似は計算的に困難か？
• RQ2 非格子根におけるジョーンズ多項式の値を区別する近似は多項式時間で解けるか？
• RQ3 ジョーンズ多項式の普遍性とその計算複雑性の関係は何か？
• RQ4 チューティー多項式の特定の値は、近似において#P困難か？
• RQ5 ジョーンズ多項式の計算・推定に際して、モース型アルゴリズムが最適であることを証明できるか？

主な発見

• 非格子根の単位根におけるジョーンズ多項式の任意の値を区別する近似は、クック＝チューリング還元のもとで#P困難である。
• このハードネスは、一般のリンクにとどまらず、結び目（knots）に制限された場合にも成立する。
• この結果は、複素値そのものではなく、|V(L,t)| の大きさについて成り立ち、定数倍の近似に対しても安定している。
• このハードネスは、平面グラフにおけるチューティー多項式 T(G,x,y) の特定の値へも拡張され、任意の定数因子 c > 1 に対して近似が#P困難であることが示された。
• 証明手法は、量子計算の普遍性、アーロンソンの PostBQP = PP 結果、およびソロベイ＝キタイエフの定理を統合している。
• これらの知見は、非格子根の単位根において、ジョーンズ多項式のモース型アルゴリズムが本質的に最適である可能性を示唆しており、ブリッジ数に関して指数時間が必要となる。