[論文レビュー] How Hard Is It to Satisfy (Almost) All Roommates?

Jiehua Chen, Danny Hermelin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Game Theory and Voting Systems参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、安定ルームメイト問題の2つの最適化変種を調査する：平等的安定ルームメイト（Egalitarian Stable Roommates）は、エージェントの不満度の合計（平等的コストγ）を最小化するものであり、最小ブロッキングペア安定ルームメイト（Min-Block-Pair Stable Roommates）は、ブロッキングペアの数βを最小化するものである。本稿では、平等的コストγをパrameterとする平等的安定ルームメイトが固定パrameter tractable（FPT）であることを証明するが、一方で、長さが5以下の順序リストを持つ場合でさえ、ブロッキングペア数βをパrameterとする最小ブロッキングペア安定ルームメイトはW[1]-hardであることが示され、両者の間には根本的な複雑さの二分法が存在することが明らかになる。

ABSTRACT

The classic Stable Roommates problem (the non-bipartite generalization of the well-known Stable Marriage problem) asks whether there is a stable matching for a given set of agents, i.e. a partitioning of the agents into disjoint pairs such that no two agents induce a blocking pair. Herein, each agent has a preference list denoting who it prefers to have as a partner, and two agents are blocking if they prefer to be with each other rather than with their assigned partners. Since stable matchings may not be unique, we study an NP-hard optimization variant of Stable Roommates, called Egal Stable Roommates, which seeks to find a stable matching with a minimum egalitarian cost gamma, i.e. the sum of the dissatisfaction of the agents is minimum. The dissatisfaction of an agent is the number of agents that this agent prefers over its partner if it is matched; otherwise it is the length of its preference list. We also study almost stable matchings, called Min-Block-Pair Stable Roommates, which seeks to find a matching with a minimum number beta of blocking pairs. Our main result is that Egal Stable Roommates parameterized by gamma is fixed-parameter tractable, while Min-Block-Pair Stable Roommates parameterized by beta is W[1]-hard, even if the length of each preference list is at most five.

研究の動機と目的

• エージェントの不満度の合計を最小化する、安定ルームメイト問題の最適化変種である平等的安定ルームメイトのパラメータ化された複雑さを研究すること。
• 安定マッチングが存在しない場合に、ブロッキングペアの数を最小化するマッチングを求める、最小ブロッキングペア安定ルームメイトの複雑さを調査すること。
• 特に、順序リストの長さが有界である場合に、これらの2つの最適化変種のパラメータ化された tractability の境界を明確にすること。
• 例えば、最小ブロッキングエージェント安定ルームメイトのような関連問題の複雑さに関する未解決の問題を解消するため、タイトな下界とアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 平等的コストγをパrameterとする固定パラメータ tractable（FPT）アルゴリズムを提案し、インスタンスサイズをO(γ²)にまで削減するためのカーネル化を用いる。
• Multi-Colored Independent Setへの還元を用いて、長さが5以下の順序リストを持つ場合でさえ、ブロッキングペア数βをパrameterとする最小ブロッキングペア安定ルームメイトのW[1]-hardnessを証明する。
• 独立集合の解を安定ルームメイト設定でシミュレートするために、特別に設計された頂点選択および検証用のガジェットを還元に用いる。
• ブロッキングエージェントの数をパrameterとする最小ブロッキングエージェント安定ルームメイトに対して、可能なブロッキングエージェントを列挙し、Abrahamら[6]のサブルーチンを用いて候補となるブロッキングペアを検証する推測ベースのアルゴリズムを設計する。
• 指数時間仮説（ETH）を用いて、最小ブロッキングペア安定ルームメイトに対して、f(β)·no(β)-時間のアルゴリズムが存在しないことを主張する。
• 順序リストの構造的性質およびブロッキングペアの定義を活用して、還元および下界証明の正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平等的安定ルームメイトは、平等的コストγをパrameterとする場合に固定パラメータ tractable（FPT）であるか？
• RQ2 長さが有界な順序リストを持つ場合でさえ、ブロッキングペア数βをパrameterとする最小ブロッキングペア安定ルームメイトはW[1]-hardであるか？
• RQ3 平等的安定ルームメイトのパラメータ化された複雑さは、順序リストに同等性（tie）がある場合に拡張可能か？
• RQ4 平等的安定ルームメイトを解くために可能な最もタイトな実行時間は何か？ そして、現在のFPTアルゴリズムは最適か？
• RQ5 最小ブロッキングエージェント安定ルームメイト変種は多項式カーネルを有するか、それともW[1]-hardであるか？

主な発見

• 平等的安定ルームメイトは、平等的コストγをパrameterとする場合に固定パラメータ tractable（FPT）であり、カーネルサイズがO(γ²)である。
• 長さが5以下の順序リストを持つ場合でさえ、ブロッキングペア数βをパrameterとする最小ブロッキングペア安定ルームメイトはW[1]-hardである。
• 最小ブロッキングペア安定ルームメイトのW[1]-hardness結果はタイトであり、下界が既知の最良の近似およびパラメータ化された複雑さの境界と一致する。
• Multi-Colored Independent Setから最小ブロッキングペア安定ルームメイトへの還元により、Abrahamら[6, Lemma 4]が提示したβに関する下界がタイトであることが示された。
• 最小ブロッキングエージェント安定ルームメイトは、エージェント数ηをパrameterとする場合にNP-hardかつW[1]-hardであり、長さが5以下の順序リストを持つ場合でも同様である。
• ブロッキングエージェントとペアを推測し、Abrahamら[6]のサブルーチンを用いて検証することで、実行時間O(2η² · nη+2)の多項式時間アルゴリズムが存在する。