[論文レビュー] How is spontaneous symmetry breaking possible?

David J. Baker, Hans Halvorson|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、量子場の理論における基礎的パラドックスを解消する。Wignerの定理ではすべての対称性がユニタリ作用素によって実装されなければならないが、無限大系におけるスピン密度対称性の自発的破れ（SSB）では、対称性が非ユニタリに実装されなければならない。著者らは、ベクトルと状態の対応を変更することで、ユニタリでない表現間をユニタリ作用素が結ぶことができることを示し、表現のユニタリ同値性を要請しないまま物理的同値性を保っている。

ABSTRACT

We pose and resolve a seeming paradox about spontaneous symmetry breaking in the quantum theory of infinite systems. For a symmetry to be spontaneously broken, it must not be implementable by a unitary operator. But Wigner's theorem guarantees that every symmetry is implemented by a unitary operator that preserves transition probabilities between pure states. We show how it is possible for a unitary operator of this sort to connect the folia of unitarily inequivalent representations. This result undermines interpretations of quantum theory that hold unitary equivalence to be necessary for physical equivalence.

研究の動機と目的

• Wignerの定理がすべての対称性がユニタリに実装されなければならないと要求するのに対し、無限大系では自発的破れされた対称性がユニタリに実装されないという要請との間にある明らかな矛盾を解消すること。
• 対称性の状態上でのユニタリ実装と、ヒルベルト空間表現のユニタリ同値性との間の違いを明確にすること。
• ユニタリ同値でない表現の層（folia）の間で、ユニタリ作用素が対称性として作用する仕組みを示し、その作用が表現同士のユニタリ同値性を示唆しないこと。
• 代数的量子場理論において、物理的同値性を表現のユニタリ同値性と同一視する解釈に反論すること。
• GNS構成と状態-ベクトル対応の役割が、異なる表現間での対称性を理解する上で果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 量子理論の代数的アプローチを用い、量子系をC*-代数とそのヒルベルト空間上の表現でモデル化する。
• 各状態を一意な循環的ベクトルを伴うヒルベルト空間表現に結びつけるGNS構成を適用し、状態とベクトルの間の一対一対応を保証する。
• Wignerの定理が要求するように、純粋状態間の遷移確率を保存するWignerユニタリ作用素Wの概念を導入する。
• 固定された表現内で作用するWignerユニタリWと、異なる表現をユニタリ同値に結ぶための相互作用ユニタリVとの区別を行う。
• 対称性変換αが状態に作用する仕組みを、ベクトルと観測量の対応を再定義することによって分析し、関係式(π′)* = α′∘π* を用いる。
• 対称性がα⁻¹による観測量の再ラベル化によって実装される場合、恒等写像がWignerユニタリWとして機能することを示し、表現がユニタリ同値でない場合でも物理的同値性が保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、Wignerの定理の意味でユニタリに実装可能な対称性が、無限大系における自発的破れを伴う対称性として成立するのか？
• RQ2 対称性の状態上でのユニタリ実装と、それらを結ぶヒルベルト空間表現のユニタリ同値性との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 ユニタリ同値でない表現間でユニタリ作用素が対称性として作用するとは、どのような意味で成立するのか？
• RQ4 自発的破れされた対称性がユニタリに実装されないという標準的要請が、なぜWignerの定理と矛盾しないのか？
• RQ5 GNS構成における状態-ベクトル対応が、異なる表現間での対称性の解釈にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 対称性は、Wignerの定理の意味でユニタリに実装可能であり得るが、それはユニタリ同値でない表現を結ぶ場合でも可能である。なぜなら、ユニタリ作用素が表現自体ではなく、状態とベクトルの対応を変更するからである。
• WignerユニタリWは、表現間の相互作用ユニタリである必要はなく、異なる表現においてどのベクトルがどの状態を表すかを再定義することで、遷移確率を保存する。
• 状態上での対称性のユニタリ実装は、表現のユニタリ同値性を含意しないのであり、これにより自発的破れにおける明白なパラドックスが解消される。
• 対称性がα⁻¹による観測量の再ラベル化によって実装される場合、恒等写像がWignerユニタリWとして機能し、表現がユニタリ同値でない場合でも物理的同値性が保たれることを示す。
• Wignerユニタリと相互作用ユニタリの区別により、物理的同値性が表現のユニタリ同値性と等価ではないことが明確になる。
• 本論文は、対称性αが表現πの層（folium）に作用する方法を確立し、ωをω∘α⁻¹に写像する。この作用は、πとπ∘α⁻¹がユニタリ同値でない場合でも、Wを介してユニタリに実装可能である。