[論文レビュー] How Many Directions Determine a Shape and other Sufficiency Results for Two Topological Transforms

Justin Curry, Sayan Mukherjee+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2018

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Euler特性変換（ECT）と恒常ホモロジー変換（PHT）が、$ℝ^d$ 内のコンpaktoかつ構成可能な形状を、有限個の方向スキャンを用いて一意に特定できることを確立する。Schapiraの逆定理と方向球面の局所的解析を活用することで、両変換の単射性を証明し、幾何的制約下でも、有限個のEuler曲線または恒常図に基づいて形状を再構成可能であることを示す。

ABSTRACT

In this paper we consider two topological transforms that are popular in applied topology: the Persistent Homology Transform (PHT) and the Euler Characteristic Transform (ECT). Both of these transforms are of interest for their mathematical properties as well as their applications to science and engineering, because they provide a way of summarizing shapes in a topological, yet quantitative, way. Both transforms take a shape, viewed as a tame subset $M$ of $\mathbb{R}^d$, and associates to each direction $v\in S^{d-1}$ a shape summary obtained by scanning $M$ in the direction $v$. These shape summaries are either persistence diagrams or piecewise constant integer-valued functions called Euler curves. By using an inversion theorem of Schapira, we show that both transforms are injective on the space of shapes, i.e.~each shape has a unique transform. Moreover, we prove that these transforms determine continuous maps from the sphere to the space of persistence diagrams, equipped with any Wasserstein $p$-distance, or the space of Euler curves, equipped with certain $L^p$ norms. By making use of a stratified space structure on the sphere, induced by hyperplane divisions, we prove additional uniqueness results in terms of distributions on the space of Euler curves. Finally, our main result proves that any shape in a certain uncountable space of PL embedded shapes with plausible geometric bounds can be uniquely determined using only finitely many directions.

研究の動機と目的

• コンパクトかつ構成可能な $ℝ^d$ の部分集合に対して、Euler特性変換（ECT）と恒常ホモロジー変換（PHT）の単射性を確立すること。
• ECT もしくは PHT を用いて形状を一意に再構成するために必要な最小の方向数を特定すること。
• 方向球面上に局所的フレームワークを構築し、トポロジカル変換の変動を分析すること。
• 幾何的制約を伴う、非可算個のピecewise linear（PL）埋め込み形状の族へ理論的結果を拡張すること。
• 有限方向サンプルからの誤差制御のもとで形状再構成の可能性を検討すること。

提案手法

• 構成可能層のためのSchapiraの逆定理を適用し、o-最小的集合上でのECTおよびPHTの単射性を証明する。
• PL形状の辺に直交する超平面によって誘導される $S^{d-1}$ の分割を用いて、方向の変動を分析する。
• ECTを区分定数関数、PHTを恒常図として表現し、両者をストラトム上で連続的に変化させることを示す。
• Euler曲線には $L^p$ ノルム、恒常図には Wasserstein $p$-距離を用いてトポロジカル距離を定義する。
• 幾何的パラメータに依存する $O\left(\frac{d^{d+1}k_{\delta}^{2d}}{\delta^{2d(d-1)}}\right)$ の形で、高次元ストラトムの数を上限づける有限性結果を導出する。
• 各ストラトムごとに1つの曲線と頂点データに基づく補間技術を用いて、球面上全域でのECTの再構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個の方向のみを用いて、$ℝ^d$ 内のコンパクトかつ構成可能な形状が、ECT もしくは PHT によって一意に特定可能か？
• RQ2 形状をそのECT もしくは PHT から再構成するために必要な最小の方向数は何か？
• RQ3 方向球面の異なるストラトム間でトポロジカル変換はどのように変化するか？ また、この性質は補間に利用可能か？
• RQ4 有限方向サンプルからのみで、誤差を制御した範囲でECT もしくは PHT を用いて形状を再構成可能か？
• RQ5 代数的または曲率制約付きの滑らかな多様体など、より一般な形状クラスでは、これらの変換はどのように振る舞うか？

主な発見

• ECT および PHT は、$ℝ^d$ のコンパクトかつ構成可能な部分集合の空間上で単射であり、各形状が一意に対応する。
• 両変換は、球面 $S^{d-1}$ からEuler曲線の空間（$L^p$ ノルム付き）および恒常図の空間（Wasserstein $p$-距離付き）への連続写像を誘導する。
• 幾何的制約を伴うある非可算個のPL埋め込み形状の族において、有限個の方向のみで形状が一意に特定可能である。
• ストラトム分割における高次元ストラトムの数は、$O\left(\frac{d^{d+1}k_{\delta}^{2d}}{\delta^{2d(d-1)}}\right)$ で上限づけられ、必要な方向サンプル数を制御する。
• 各ストラトムごとに1つのEuler曲線と頂点集合の知識があれば、ECTは全球的に再構成可能であり、効率的な補間が可能である。
• 結果はo-最小的構造を介して広範な形状クラスへ拡張可能であり、局所的にコンパクトまたは滑らかな代数的集合（曲率制約付き）への応用の可能性を示唆する。