[論文レビュー] How many evolutionary histories only increase fitness

Julien Berestycki, Éric Brunet-Gouet+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2013

Evolution and Genetic Dynamics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ランダムなフィットネス値をもつ超立方体において、(0,0,…,0) から (1,1,…,1) への増加パスの数を研究しており、根の値を x = X/L とスケーリングしたとき、L → ∞ の極限で正規化されたパス数 Θ/L が、e^{-X} に二つの独立な指数分布確率変数の積をかけたものに分布収束することを示している。解析は、基礎的な結果を得るためのツリーの類似から始まる。

ABSTRACT

Motivated by an evolutionary biology question, we study the following problem: we consider the hypercube $\{0,1\}^L$ where each node carries an independent random variable uniformly distributed on $[0,1]$, except $(1,1,\ldots,1)$ which carries the value $1$ and $(0,0,\ldots,0)$ which carries the value $x\in[0,1]$. We study the number $\Theta$ of paths from vertex $(0,0,\ldots,0)$ to the opposite vertex $(1,1,\ldots,1)$ along which the values on the nodes form an increasing sequence. We show that if the value on $(0,0,\ldots,0)$ is set to $x=X/L$ then $\Theta/L$ converges in law as $L o\infty$ to $\mathrm{e}^{-X}$ times the product of two standard independent exponential variables. As a first step in the analysis, we study the same question when the graph is that of a tree where the root has arity $L$, each node at level 1 has arity $L-1$, \ldots, and the nodes at level $L-1$ have only one offspring which are the leaves of the tree (all the leaves are assigned the value 1, the root the value $x\in[0,1]$).

研究の動機と目的

• ランダムなフィットネスランドスケープを超立方体でモデル化した場合に、どれだけの進化的パスがフィットネスを増加させるかを理解すること。
• すべてのノードが i.i.d. な一様 [0,1] フィットネス値をとるが、すべて0の頂点とすべて1の頂点を除いた状況下で、すべて0からすべて1の頂点への増加パスの分布を分析すること。
• 次元 L が非常に大きくなる際の、このような増加パスの数の正規化された分布の極限を確立すること。
• 超立方体に拡張する前の初期解析のための簡略化されたプロキシとして、各段階で arity が減少するツリー構造を用いること。

提案手法

• すべてのノードに i.i.d. な一様 [0,1] フィットネス値を割り当てるが、すべて0の頂点 (0,0,…,0) とすべて1の頂点 (1,1,…,1) を除く。
• 根 (0,0,…,0) に値 x ∈ [0,1] を割り当て、反対側の頂点 (1,1,…,1) に値 1 を割り当てる。
• このフィットネスモデル下で、根から反対側の頂点への単調増加パスの数 Θ を分析する。
• 初期解析のための扱いやすい近似として、各レベルで arity が減少するツリー構造を用いる。
• 極値理論とポアソン収束の技法を用いて、L → ∞ のときの Θ の極限的挙動を研究する。
• 根の値を x = X/L とスケーリングし、Θ/L の弱収束を指数分布変数を用いて導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 L → ∞ のとき、ランダムなフィットネス超立方体における (0,0,…,0) から (1,1,…,1) への増加パスの数の漸近的分布は何か？
• RQ2 固定された X に対して、原点のフィットネス値が X/L にスケーリングされた場合、このようなパスの数はどのように振る舞うか？
• RQ3 根の値を X/L に設定し、L → ∞ としたとき、Θ/L の極限分布は何か？
• RQ4 ツリー・モデルは、パス数の分布を捕捉する点で、超立方体をどの程度うまく近似するか？
• RQ5 極値統計とポアソン収束は、極限的パス数を特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• 正規化された増加パス数 Θ/L は、L → ∞ のとき、e^{-X} に二つの独立な標準指数分布確率変数の積をかけたものに分布収束する。
• 極限分布は非退化的であり、スケーリングされた根の値 X に明示的に依存する。
• ツリー・モデルは、扱いやすい出発点を提供し、超立方体・モデルでも同じ極限的挙動が得られる。
• 収束は法則に従うため、ランダムなフィットネス値の具体的な実現に依存しない普遍的な極限形である。
• この結果は、大次元極限において、ランダムなフィットネスランドスケープと指数分布変数の積との間に深い関係があることを示している。