[論文レビュー] How noise determines the statistics of simple path dependent systems

Bernat Corominas‐Murtra, Rudolf Hanel+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、駆動非平衡系の定常統計を理解するための統一的枠組みとして、サンプル空間縮小（SSR）プロセスを提案する。駆動過程を状態依存または定数のレートとしてモデル化することで、正確なべき乗則、指数関数的分布、正規分布、その他の分布が導かれる。これは、複雑系における普遍的な重尾的・スケール不変的統計の出現を機械的メカニズムとして説明するものである。

ABSTRACT

Sample space reducing (SSR) processes offer a simple analytical way to understand of the origin and ubiquity of power-laws in many path-dependent complex systems. SRR processes show a wide range of applications that range from fragmentation processes, language formation to cascading pro- cesses. Here we argue that they also offer a natural framework to understand stationary distributions of generic driven non-equilibrium systems that are composed of a driving and a relaxing process. We show that the statistics of driven non-equilibrium systems can be derived from the understanding of the nature of the underlying driving process. For constant driving rates exact power-laws emerge with exponents that are related to the driving rate. If driving rates become state-dependent, or if they vary across the life-span of the process, the functional form of the state-dependence determines the statistics. Constant driving rates lead to exact power-laws, a linear state-dependence function yields exponential or Gamma distributions, a quadratic function gives the normal distribution. Logarithmic and power-law state dependence leads to log-normal and stretched exponential distribution functions, respectively. Also Weibull, Gompertz and Tsallis-Pareto distributions arise naturally from simple state-dependent driving rates. We discuss a simple physical example of consecutive elastic collisions that exactly represents a SSR process.

研究の動機と目的

• 駆動非平衡系の統計がその下位の駆動プロセスの性質とどのように関連するかを理論的枠組みで確立すること。
• 定数、線形、2次、対数、べき乗則などの異なる関数形の駆動レートが、結果として得られる定常分布にどのように影響するかを調査すること。
• SSRプロセスが、べき乗則、指数関数的分布、対数正規分布など、実験的に観察された広範な分布を自然に生成できることを示すこと。
• 連続する弾性衝突のモデルを通じて、SSRプロセスの物理的実現を提供すること。
• 破壊、言語、カスケード過程など、多様な系にわたるスケール不変的・重尾的統計の起源を統一的に説明すること。

提案手法

• 経路依存性により時間とともに利用可能な状態が減少するサンプル空間縮小（SSR）プロセスとして系をモデル化する。
• 現在の状態または時間の関数として駆動レートを定義し、定数、線形、2次、対数、べき乗則の依存性を許容する。
• 異なる駆動レート関数の下でのサンプル空間の再帰的縮小を分析することで、定常確率分布を導出する。
• 正確な解析解を用いて、定数駆動レートがレートに依存して決定されるべき乗則分布をもたらすことを示す。
• 連続する弾性衝突の物理的系にこの枠組みを適用し、SSRプロセスとしての正確な実現を示す。
• 駆動レートの関数形に基づいて、得られた分布を既知の形式（例：指数分布、ガンマ分布、正規分布、対数正規分布、ワイブル分布、ゴンペルツ分布、ツァリス・パレート分布）にマッピングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SSRプロセスにおける定数駆動レートはどのように正確なべき乗則分布を生じさせるか？
• RQ2 状態依存の駆動レートのどの関数形が指数分布またはガンマ分布の定常状態をもたらすか？
• RQ3 2次関数的駆動レート関数は、定常状態で正規分布をどのように導くか？
• RQ4 対数的またはべき乗則的状態依存性は、対数正規分布やストレッチド指数分布の生成にどのように寄与するか？
• RQ5 この枠組みは、非平衡系における複雑な分布（ワイブル、ゴンペルツ、ツァリス・パレート）の出現を説明できるか？

主な発見

• SSRプロセスにおける定数駆動レートは、レートに直接依存するべき乗則の定常分布を正確に生成する。
• 駆動レートの線形的状態依存性は、指数分布またはガンマ分布の定常状態をもたらす。
• 駆動レートの2次的状態依存性は、定常状態で正規分布をもたらす。
• 対数的状態依存性は対数正規分布を生じさせ、べき乗則的状態依存性はストレッチド指数分布を生成する。
• ワイブル、ゴンペルツ、ツァリス・パレート分布は、SSRプロセスにおける特定の状態依存駆動レートの関数形から自然に出現する。
• 連続する弾性衝突の物理的モデルが、SSRプロセスを正確に実現することを示し、この枠組みが実世界の系において妥当であることを検証した。