[論文レビュー] How NP got a new definition: a survey of probabilistically checkable proofs

Sanjeev Arora|ArXiv.org|Apr 28, 2003

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 55被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、NPを、対数的ランダムネスを用いて定数個のビットを読み取るだけで検証可能な証明を持つ問題のクラスとして再定義する確率的チェック可能な証明（PCP）定理を調査する。主な貢献は、正しくない証明は高い確率で拒否され、正しい証明は常に受理されるNP問題に対する確率的チェック可能な証明が存在することであり、これにより最適化問題の強い近似不能性結果が得られる。

ABSTRACT

We survey a collective achievement of a group of researchers: the PCP Theorems. They give new definitions of the class p, and imply that computing approximate solutions to many p-hard problems is itself p-hard. Techniques developed to prove them have had many other consequences.

研究の動機と目的

• 計算複雑性理論におけるPCP定理の発展とその意味をサーベイすること。
• O(log n)のランダムビットとO(1)のクエリビットを用いて、確率的チェック可能な証明を持つ問題のクラスとしてNPを再定義する方法を説明すること。
• これらの定理が、多くのNPハード最適化問題を特定の比で近似することは、自身がNPハードであることを示唆すること。
• 低次元テストとロングコード符号化を含む代数的技法が、PCPシステムの構築に果たす役割を強調すること。
• PCP技法が暗号、符号理論、複雑性クラスの特徴付けに与える広範な影響を探索すること。

提案手法

• NP = PCP(log n, 1) というPCP定理を用いる。これにより、NP証明は定数個のビットを読み取るだけで検証可能であり、対数的ランダムネスを用いる。
• 線形性および低次元テストなどの代数的技法を用い、関数が低次元多項式または線形関数に近いかどうかを検証する。
• フーリエ解析を用いて線形性テストにおける拒否確率を評価し、拒否確率が最近接する線形関数からの距離の半分以上であることを示す。
• 一変数多項式のテーブルを用いた低次元テストを導入し、多項式の近さを検証する際のクエリ複雑度を低減し、効率を向上させる。
• ロングコードテストを用いて、GF(2)^n 上の座標関数の集合への属性を検証し、ランダムなクエリを用いて線形性からの逸脱を検出する。
• リストデコードと近接性テストに依存し、関数が小さな集合のコードワードに近い場合にも、複数の近接コードワードが存在する場合でも、堅牢な検証が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NP問題は、対数的ランダムネスを用いて、証明から定数個のビットを読み取るだけで検証可能か？
• RQ2 PCP定理とMAX-3SATのようなNPハード最適化問題の近似不能性との関係は何か？
• RQ3 多項式の代数的性質およびエラー訂正符号の性質をどのように活用して、効率的かつ確率的チェック可能な証明を構築できるか？
• RQ4 PCP技法は、PSPACE や PH といった複雑性クラスの定義にどのような意味を持つのか？
• RQ5 PCP構成は、暗号、符号理論、および確率的アルゴリズムの非確率化の分野にどのような影響を及えるか？

主な発見

• PCP定理は、NP = PCP(log n, 1) を確立しており、任意のNP命題に対して、O(1)のビットを読み取るだけで検証可能であり、O(log n)のランダムビットを用いる確率的チェック可能な証明が存在することを意味する。
• 任意のNP問題に対して、正しい証明は常に受理され、誤った証明は300ビットを検査した際に確率1 - 2^(-100)以上で拒否される。
• PCP定理は、MAX-3SATを8/7 - εの比で近似することはNPハードであることを示しており、良い近似が正確な計算と同等に難しいことを示している。
• 線形性テストの拒否確率γは、γ ≥ δ(f, C₁)/2 を満たす。ここでδ(f, C₁)はfと最近接する線形関数との距離を表す。
• 低次元テストは、関数fが任意のd次多項式から遠ざかっている場合、そのテストが拒否する確率がmin{0.1, δ(f, C₂)/2}以上であることを保証する。
• ロングコードテストは、fが座標関数に近い場合にのみ高い確率で受理され、その構造のおかげでMAX-Cliqのような問題に対する強い近似不能性結果が得られる。