[論文レビュー] How the modified Bertrand theorem explains regularities of the periodic table I. From conformal invariance to Hopf mapping

Arkady L. Kholodenko, Louis H. Kauffman|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2019

Quantum Mechanics and Applications参考文献 59被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多電子原子のティーツ型シュレーディンガー方程式が、量子ベルトラン時空における量子運動に等価であることを示し、水素原子と類似した正確な解析的解が得られることを示している。共形不変性とホフプ法を活用することで、マデルング則（n+l, n）を初等的に導出し、周期律表の周期性を時空の幾何学的・位相的性質によって説明している。

ABSTRACT

Bertrand theorem permits closed orbits in 3d Euclidean space only for 2 types of central potentials. These are of Kepler-Coulomb and harmonic oscillator type. Volker Perlick recently extended Bertrand theorem. He designed new static spherically symmetric (Bertrand) spacetimes obeying Einsteins equations and supporting closed orbits. In this work we prove that the topology and geometry of these spacetimes permits to solve quantum many-body problem for any atom of periodic system exactly. The computations of spectrum for any atom of periodic system becomes analogous to that for hydrogen atom. Initially the exact solution of the Schrödinger equation for any multielectron atom was obtained by Tietz in 1956. However, neither himself nor others fully comprehended what actually was obtained. We recalculated Tietz results by applying the methodology consistent with new (different from that developed by Fock in 1936) way of solving Schro"odingers equation for hydrogen atom. In the light of this new result it had become possible to demonstrate rigorously that the Tietz-type Schro"odingers equation is in fact describing the quantum motion in Bertrand spacetime. As a bonus, we obtained the analytical proof of the Madelung rule defined in the text

研究の動機と目的

• 周期律表における電子配置の充填順序を規定するマデルング則（n+l, n）の、初等的な理論的説明を提供すること。
• 従来は経験的に用いられていたティーツポテンシャルが、特定の時空幾何における共形不変性量子力学から自然に生じることを示すこと。
• 任意の原子における量子多体問題が、ベルトラン時空における量子運動に写像されることで、正確に解けることを示すこと。
• 電気中性条件とスケーリング不変性から出発して、ティーツポテンシャルの形を導出し、ハートリー＝フォック理論およびトーマス＝フェルミ理論と一致させること。
• 共形不変性とホフプファイバー束構造を用いて、周期律表における周期性の幾何学的・位相的基盤を確立すること。

提案手法

• 閉じた古典的軌道を支持する静的で球対称な時空に、ヴォルケル・ペルリックによるベルトランの定理の拡張を適用する。
• 共形不変性を用いて、多電子原子のシュレーディンガー方程式を量子ベルトラン時空における系に写像する。
• ホフプ写像を用いて、3次元の電子配置空間を4次元の共形不変幾何に結びつけ、超可積分性と正確な可解性を実現する。
• ティーツポテンシャルを、量子ベルトラン時空の幾何から生じる有効ポテンシャルとして再解釈し、トーマス＝フェルミおよびハートリー＝フォックの結果と整合する。
• フェインマン＝メトロポリス＝テラーのスケーリング解析を用いて、全エネルギーの $ Z^{7/3} $ スケーリングを導出し、T-Fモデルと一致させ、有限Zにおけるティーツポテンシャルの妥当性を確認する。
• フォークのアプローチとは根本的に異なる、共形不変性を介した系の隠れた対称性を活用した、シュレーディンガー方程式の新しい解法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マデルング則（n+l, n）が、基本的な量子的および幾何学的原理からどのように初等的に導かれるか。
• RQ2 周期律表における周期性、特に繰り返される周期長（2, 8, 8, 18, 18, 32, 32）の幾何学的・位相的起源は何か。
• RQ3 従来は経験的フィットとして扱われていたティーツポテンシャルが、なぜ共形不変性と時空幾何から自然に生じるのか。
• RQ4 任意の多電子原子における量子多体問題が、ベルトラン時空における量子系に写像することで正確に解けるか。
• RQ5 共形不変性の文脈において、ティーツ型シュレーディンガー方程式の有効ポテンシャルが、トーマス＝フェルミおよびハートリー＝フォックポテンシャルとどのように関係するか。

主な発見

• 多電子原子のティーツ型シュレーディンガー方程式が、正確に量子ベルトラン時空における量子運動を記述することを示し、正確な解析的解が得られることを裏付けた。
• マデルング則（n+l, n）が、ホフプファイバー束と共形不変性を介した時空の幾何学的・位相的構造から初等的に導出された。
• ティーツモデルにおける有効ポテンシャル $ V(r) = -rac{Ze}{r} rac{1}{(1 + rac{r}{a})^2} $、ただし $ a = 0.8853 a_0 Z^{-1/3} $ は、トーマス＝フェルミ方程式と電気中性条件から導出され、フィッティングパラメータではない。
• 原子の全エネルギーは $ Z^{7/3} $ に比例するが、これはT-Fモデルおよびフェインマン＝メトロポリス＝テラーのスケーリング解析とも一致し、有限Zにおけるティーツポテンシャルの妥当性が裏付けられた。
• 本稿で用いられた解法は、1936年にフォークが提唱した方法とは根本的に異なり、共形不変性とホフプ写像を用いて正確な可解性を達成している。
• 本稿では、周期律表の周期性と周期長の二重化が、基礎となる時空幾何の位相的構造と直接的に関連づけられた。