[論文レビュー] How to account for virtual arbitrage in the standard derivative pricing

Kirill Ilinski|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 1999

Financial Markets and Investment Strategies参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、標準的なブラック・ショールズフレームワークの根幹的な数学的構造を変更せずに、仮想的アービタージュ機会を組み込む方法を示している。GARCH型ダイナミクスを用いて基礎資産価格過程に確率的ボラティリティを組み込むことで、モデルは熟知されたPDEおよびマルティンググール・アプローチを維持しながら、現実性を高め、既存の価格設定パラダイム内にアービタージュに類似した効果を組み込むことができる。

ABSTRACT

In this short note we show how virtual arbitrage opportunities can be modelled and included in the standard derivative pricing without changing the general framework. Whatever people say about the drawbacks of the Black-Scholes (BS) approach [1] to derivative pricing, it is a standard method and almost any pricing and hedging software in financial institutions is based on it. Practitioners have got used to BSlike partial differential equations, martingales and other related mathematical animals. Both analytical and numerical methods are well developed and it is hardly surprising that practitioners are rather reluctant to "buy" complicated new theories. That is why it is interesting to see how some limitations of BS analysis can be overcome in the same mathematical framework without disturbing the foundations. One way to improve BS is to use a more realistic price process instead of the geometrical random walk. The most popular alternatives are ARCH-GARCH models where the volatility of...

研究の動機と目的

• ブラック・ショールズモデルが現実の市場ダイナミクス、特にボラティリティクラスタリングや潜在的なアービタージュに類似した効果を捉えることの限界を是正すること。
• 既存のデリバティブ価格設定インfraストラクチャ（PDEやマルティンググール測度など）との互換性を維持しつつ、モデルの現実性を高めること。
• モデルの誤特定や市場の非効率性に起因する仮想的アービタージュ（アービタージュに類似した機会）が、標準的なBSフレームワーク内で形式的にモデル化可能かどうかを検討すること。
• GARCH型の確率的ボラティリティをブラック・ショールズフレームワークに導入することで、確立された解析的および数値的手法を放棄せずに、より豊かな価格行動を実現できることを示すこと。

提案手法

• ブラック・ショールズにおける標準的な幾何 Browndian 動的過程を、ボラティリティクラスタリングをよりよく反映するGARCH型の確率的ボラティリティ過程へと拡張する。
• リスク中立的測度およびマルティンググール価格設定フレームワークの使用を維持することで、既存のデリバティブ価格設定ソフトウェアおよび理論との整合性を保つ。
• 時間的に変化するボラティリティを組み込んだ修正された偏微分方程式（PDE）を導出することで、より現実的なダイナミクス下でのデリバティブ価格設定を可能にする。
• 標準的なBSと同一の解析的および数値的手法（例：有限差分法、モンテカルロシミュレーション）を用いることで、実装可能性を保証する。
• 仮想的アービタージュを真のアービタージュではなく、ボラティリティダイナミクスに起因するものとしてモデル化することで、実際の無リスク利益を生じさせず、市場の非効率性を捉える。
• 基礎となるBS仮定を維持しつつ、ボラティリティモデリングを通じてより豊かなダイナミクスを埋め込むことで、理論的全体の再構築を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なブラック・ショールズ数学的フレームワーク内で、根本的な構造を変更せずに仮想的アービタージュ機会を形式的にモデル化可能か？
• RQ2 GARCH型の確率的ボラティリティをブラック・ショールズPDEに統合する方法は何か？ その際、マルティンググール価格設定アプローチを維持できるか？
• RQ3 時間的に変化するボラティリティを組み込むことで、代替モデルへの移行を要せず、デリバティブ価格設定の現実性がどの程度向上するか？
• RQ4 リスク中立的設定下で、仮想的アービタージュを真のアービタージュではなくボラティリティダイナミクスの結果としてモデル化した場合、どのような意味合いがあるか？

主な発見

• 仮想的アービタージュは、GARCH型の確率的ボラティリティを導入することで、ブラック・ショールズフレームワーク内に形式的にモデル化可能であり、根本的なPDEやマルティンググール構造に変更を加える必要がない。
• 修正されたモデルは、標準的なデリバティブ価格設定で用いられる同一の解析的および数値的手法を維持しており、既存の金融ソフトウェアとの互換性が保証される。
• 確率的ボラティリティの導入により、元のブラック・ショールズモデルに欠落していたボラティリティクラスタリングなどの市場現象をモデルが捉えることができる。
• フレームワークにより、仮想的アービタージュ（モデルに起因する誤定価に類する機会）が存在可能でありながら、リスク中立的測度下での非アービタージュの原則を損なわない。
• ブラック・ショールズを既に使用している機関にとって、このアプローチは理論的再構築を要せず、モデルの現実性を高める実用的なアップグレードパスを提供する。
• 結果として得られるPDEは、ブラック・ショールズPDEと同一の形を保ちつつ、GARCHダイナミクスから導かれる時間依存ボラティリティ項を含むため、より豊かなデリバティブ価格設定が可能になる。