[論文レビュー] How to Convexify the Intersection of a Second Order Cone and a Nonconvex Quadratic

Sam Burer, Fatma Kılınç-Karzan|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、第二順序 Cone（SOCr）と非凸二次 Cone の交差を、定義不等式の重み付き集約を用いた計算可能な方法で凸化する手法を提案する。検証が容易な条件下では、凸包を正確に捉えるタイトな第二順序 Cone 可表現緩和が得られ、混合整数コンパクトプログラムにおける分離切断に関する先行研究を統合・拡張する。

ABSTRACT

A recent series of papers has examined the extension of disjunctive-programming techniques to mixed-integer second-order-cone programming. For example, it has been shown---by several authors using different techniques---that the convex hull of the intersection of an ellipsoid, $E$, and a split disjunction, $(l - x_j)(x_j - u) \le 0$ with $l < u$, equals the intersection of $E$ with an additional second-order-cone representable (SOCr) set. In this paper, we study more general intersections of the form $K \cap Q$ and $K \cap Q \cap H$, where $K$ is a SOCr cone, $Q$ is a nonconvex cone defined by a single homogeneous quadratic, and $H$ is an affine hyperplane. Under several easy-to-verify conditions, we derive simple, computable convex relaxations $K \cap S$ and $K \cap S \cap H$, where $S$ is a SOCr cone. Under further conditions, we prove that these two sets capture precisely the corresponding conic/convex hulls. Our approach unifies and extends previous results, and we illustrate its applicability and generality with many examples.

研究の動機と目的

• 第二順序 Cone 可表現（SOCr）集合と非凸二次 Cone の交差を、一般的かつ計算可能な技術で凸化するための手法を開発すること。
• 第二順序 Cone と非凸二次制約を含む混合整数コンパクトプログラムにおける分離切断に関する先行結果を統合・拡張すること。
• 交差の凸包を正確に表現する、つまり凸緩和が交差の凸包に一致する条件を特定すること。
• コンパクト双対性と固有値解析を活用することで、一般の非凸二次計画問題および混合整数コンパクト最適化に適用可能なフレームワークを提供すること。
• 信頼領域部分問題や楕円体分割交差を含む多様な例を通じて、本手法の一般性と適用可能性を示すこと。

提案手法

• SOCr Cone と非凸二次 Cone を定義する不等式の重み付き集約を用い、得られる集合の凸性を保証する非負の重みを選びとる。
• 行列 A と B がそれぞれ2つの Cone を定義するように、パラメトリックな行列族 At(t) = (1-t)A + tB を導入し、At が特異になる最小の t を分析する。
• 鍵となるステップは、集約行列 At の核空間を分析し、有効な第二順序 Cone 可表現緩和の存在を検証することである。
• 緩和が計算可能かつタイトであることを保証するため、固有値の入れ子と二次 Cone のヘッセ行列および線形項の構造に依存する。
• コンパクト双対性と正定値性の性質を活用し、凸包が単一の SOCr 約束によって正確に記述される十分条件を導出する。
• 線形制約を含むように集約フレームワークを拡張することで、アフィン超平面との交差に対しても適用可能であり、SOCr 可表現性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二順序 Cone 可表現集合と非凸二次 Cone の交差が、単一の第二順序 Cone 可表現緩和によって正確に凸化可能な条件は何か？
• RQ2 統一的な集約技術を用いて、このような交差に対して計算可能でタイトな凸緩和を構築する方法は何か？
• RQ3 定義行列の構造的およびスペクトル的条件は、緩和が凸包を捉えるためにどのように寄与するか？
• RQ4 本手法は、第二順序 Cone と非凸二次 Cone がアフィン超平面とも交差する場合に拡張可能か？
• RQ5 本手法は、楕円体と分割分離切断に関する混合整数コンパクトプログラミングにおける先行結果をどのように統合・一般化するか？

主な発見

• 検証が容易な条件下では、SOCr Cone と非凸二次 Cone の交差は、単一の第二順序 Cone 可表現集合によって正確に凸化可能である。
• 本手法は、計算可能でタイトかつ SOCr 可表現な凸緩和を生成し、その有効性はパラメトリック行列 At の特異性によって決定される。
• 集約行列 At が特異化する臨界パrameter t = r = 1/(1−λ) が、緩和がタイトになる正確な点であることが示された。
• 集約行列 At の核空間に二次関数の勾配に直交するベクトルが含まれる場合、緩和は凸包を捉えることができ、固有値および核空間解析により検証された。
• 本手法は、楕円体分割交差や信頼領域部分問題に関する先行結果を一般化・統合し、弱い仮定のもとで凸包が単一の SOCr 約束によって記述されることを示した。
• 本手法は、楕円体制約を含む一般の非凸二次計画問題に適用可能であり、実行可能領域の凸包に対する有効な SOCr 不等式を生成可能である。