[論文レビュー] How to distinguish the Haldane/Large-D state and the intermediate-D state in an S=2 quantum spin chain with the XXZ and on-site anisotropies

Kiyomi Okamoto, Takashi Tonegawa+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2011

Quantum many-body systems参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、XXZおよび局所的異方性を有するS=2量子スピン鎖における中間D（ID）相の存在を、レベル分光法を用いて明確に特定することで、長年の議論を解決した。著者らは、Haldane相と大D相の間にあるID相が存在することを示し、Haldane相と大D相が断続的につながっており、同じトポロジカル位相に属することを示した。これは、従来のDMRGに基づく結論とは対照的であり、ID相の存在を否定していたものである。

ABSTRACT

We numerically investigate the ground-state phase diagram of an S=2 quantum spin chain with the $XXZ$ and on-site anisotropies described by ${\mathcal H}=\sum_j (S_j^x S_{j+1}^x+S_j^y S_{j+1}^y+ΔS_j^z S_{j+1}^z) + D \sum_j (S_j^z)^2$, where $Δ$ denotes the XXZ anisotropy parameter of the nearest-neighbor interactions and $D$ the on-site anisotropy parameter. We restrict ourselves to the $Δ>0$ and $D>0$ case for simplicity. Our main purpose is to obtain the definite conclusion whether there exists or not the intermediate-$D$ (ID) phase, which was proposed by Oshikawa in 1992 and has been believed to be absent since the DMRG studies in the latter half of 1990's. In the phase diagram with $Δ>0$ and $D>0$ there appear the XY state, the Haldane state, the ID state, the large-$D$ (LD) state and the Néel state. In the analysis of the numerical data it is important to distinguish three gapped states; the Haldane state, the ID state and the LD state. We give a physical and intuitive explanation for our level spectroscopy method how to distinguish these three phases.

研究の動機と目的

• XXZおよび局所的異方性を有するS=2量子スピン鎖における中間D（ID）相の存在に関する長年の論争を解決すること。
• 有限サイズ補外の問題を回避する強固な数値手法を用いて、Haldane相、中間D相、および大D（LD）相を明確に区別すること。
• Haldane相とLD相のトポロジカルな関係を明確にし、それらが別個の位相であるという従来の考えに反論すること。
• 強相関スピン系におけるギャップを持つ位相を特定するための物理的に直感的で数値的に信頼性の高い手法を提供すること。

提案手法

• ねじれた周期的境界条件（TBC）下でのエネルギー準位を分析するレベル分光法（LS）を用い、異なるパリティおよび磁化状態における基底状態エネルギーを比較する。
• 3つの主要なエネルギー準位を比較する：$E_{0}^{\text{TBC}}(M=0,P=+1)$、$E_{0}^{\text{TBC}}(M=0,P=-1)$、および$E_{0}^{\text{PBC}}(M=2)$。これらを用いて基底状態の位相を特定する。
• 位相はこれらの3つのエネルギーのうち最小のものによって決定される：$E_{0}^{\text{TBC}}(M=0,P=+1)$が最小であればHaldane/LD状態、$E_{0}^{\text{TBC}}(M=0,P=-1)$が最小であればID状態、$E_{0}^{\text{PBC}}(M=2)$が最小であればXY状態である。
• 固定された$D$における$Δ$の臨界値に対して有限サイズスケーリングを適用し、熱力学的極限への外挿を実施することで精度を向上させる。
• LS法は conformal field theory および有効ハミルトニアン理論に裏打ちされており、DMRGに代わる、位相境界検出に頼りがいのある代替手法を提供する。
• 系サイズ$N=6$から$12$の範囲で数値的対角化を実施し、$N\to\infty$への外挿を用いて有限サイズ効果を最小限に抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1992年にOshikawaが予測したように、XXZおよび局所的異方性を有するS=2量子スピン鎖に中間D（ID）相が存在するか？
• RQ2 数値的手法を用いてHaldane相、ID相、および大D（LD）相を明確に区別できるか？
• RQ3 Haldane相とLD相はトポロジカルに等価であるか、それとも別個の位相を形成するか？
• RQ4 レベル分光法は、ギャップが小さい相転移を検出する際のDMRGの限界をどのように克服するか？

主な発見

• 中間D（ID）相は、$\Delta > 0$および$D > 0$の範囲でS=2量子スピン鎖に存在し、数十年にわたる論争が解決された。
• 熱力学的極限において$D = 1.82$のとき、Haldane/LD相とID相の間の相転移境界は$\Delta_{\text{c}}^{(\text{H,ID})} = 2.241 \pm 0.001$に位置する。
• Haldane相と大D（LD）相は断続的に接続されており、同じトポロジカル位相に属する。これはレベル分光法によって確認された。
• レベル分光法は、ギャップの有限サイズ補外に依存せず、ID相を明確に同定し、Haldane相およびLD相と区別するのに成功した。
• XY相とHaldane/LD相の間の相転移境界は、$D = 1.82$のとき$\Delta_{\text{c}}^{(\text{XY,LD})} = 2.156 \pm 0.001$に位置する。
• LS解析における有限サイズ効果は小さいことが示された。$N=6$から$12$の系サイズにおいて、臨界$Δ$値の収束が確認された。