[論文レビュー] How to drive our families mad

Sakaé Fuchino, Stefan Geschke+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2006

Diet and metabolism studies参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、可算集合上の与えられたほとんど互いに素な族 $\mathcal{F}$ を含む最大のほとんど互いに素（mad）族の最小サイズとして定義される基数不変量 $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ を調査する。すべての無限基数 $\leq \mathfrak{c}$ が $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ として実現可能であることが示され、$\mathfrak{a} = \aleph_1 < \mathfrak{a}^+(\aleph_1) = \mathfrak{c}$ および $\mathfrak{a}^+(\aleph_1) < \mathfrak{c}$ の両方の整合性が、集合論における強制法と組合せ的構成を用いて証明される。

ABSTRACT

Given a family $F$ of pairwise almost disjoint sets on a countable set $S$, we study maximal almost disjoint (mad) families $F^+$ extending $F$. We define $a^+(F)$ to be the minimal possible cardinality of $F^+\setminus F$ for such $F^+$, and $a^+(κ)=\sup\{a^+(F): |F| \leq κ\}$. We show that all infinite cardinal less than or equal to the continuum continuum can be represented as $a^+(F)$ for some almost disjoint $F$ and that the inequalities $\aleph_1=a

研究の動機と目的

• 与えられた可算集合上のほとんど互いに素族 $\mathcal{F}$ を含む最大のほとんど互いに素（mad）族の最小サイズを分析すること。
• $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F}) = \mathfrak{a}(\mathcal{F}^\perp)$ を定義し、そのような拡張の最小サイズを測る基数不変量として研究すること。
• $|\mathcal{F}| \leq \kappa$ の場合に、$\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ が取り得る値を特定すること。
• $\mathfrak{a}^+(\kappa)$ に関連するさまざまな不等式の整合性を調査すること、特に $\mathfrak{a}$ および $\mathfrak{c}$ との関係において。
• $\sf{MA}(\sigma\text{-centered})$ などの集合論的仮定の下で、破壊不能性や $\lambda$-最小性といった追加の性質を持つ mad 族の構成すること。

提案手法

• $\mathcal{F}^\perp$（$\mathcal{F}$ のすべての元とほとんど互いに素である集合の族）における mad 族の最小サイズとして $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ を定義する。
• 特定の $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ の値が実現されるモデルを構成するために、特にコーエン強制と ${{\mathcal{C}}}_\omega$-名を用いた強制法の構成を用いる。
• 順序数帰納法を用いて $\kappa$-ほとんど決定された mad 族を構成し、強制順序集合の条件が既存のものとほとんど互いに素であることを決定することを保証する。
• $\sf{MA}(\sigma\text{-centered})$ を用いて、特定の強制拡張後も mad のまま残る ${{\mathcal{C}}}_\omega$-破壊不能な mad 族の存在を保証する。
• $\sigma$-中心的強制法を用いて基数を保存し、結果として得られる mad 族が $\lambda$-最小性などの強い組合せ的性質を満たすことを保証する。
• クーネンらの既知の結果および $\mathbb{P}$-名と一般化拡張の詳細な分析を活用し、構成された族の性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの無限基数 $\leq \mathfrak{c}$ が、可算集合上のほとんど互いに素族 $\mathcal{F}$ に対して $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ として実現可能か？
• RQ2 $\mathfrak{a} = \aleph_1 < \mathfrak{a}^+(\aleph_1) = \mathfrak{c}$ であることは整合的か？
• RQ3 $\mathfrak{a}^+(\aleph_1) < \mathfrak{c}$ であることは整合的か、かつ $\mathfrak{a} = \aleph_1$ のときにも成立するか？
• RQ4 $\sf{MA}(\sigma\text{-centered})$ の下で、すべての $\omega \leq \lambda \leq \mathfrak{c}$ に対して $\lambda$-最小であるような mad 族を構成できるか？
• RQ5 $\kappa$-ほとんど決定された性質を保ちながら、一般化拡張においても $\kappa$-ほとんど決定されたまま残る ${{\mathcal{C}}}_\omega$-破壊不能な mad 族を構成できるか？

主な発見

• すべての無限基数 $\kappa \leq \mathfrak{c}$ は、可算集合上のあるほとんど互いに素族 $\mathcal{F}$ に対して $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ として実現可能である。
• Corollary 4.3 で示されるように、$\mathfrak{a} = \aleph_1 < \mathfrak{a}^+(\aleph_1) = \mathfrak{c}$ であることは整合的である。
• Theorem 4.4 で確立されたように、$\mathfrak{a}^+(\aleph_1) < \mathfrak{c}$ であることは整合的であり、$\mathfrak{a} = \aleph_1$ のときにも成立する。
• $\sf{MA}(\sigma\text{-centered})$ の下で、$\kappa = \mathfrak{c}$ の ${{\mathcal{C}}}_\omega$-破壊不能な mad 族 $\mathcal{F}$ が存在し、$V^{{\mathcal{C}}}_\omega \models \mathcal{F} \text{ は } T \text{ で } \kappa\text{-ほとんど決定されている}$ となる。
• 地面モデルにおける任意の $\kappa \geq \mathfrak{c}$ に対して、$\kappa < \mathfrak{c}$ となる基数保存型一般化拡張が存在し、その中でサイズ $\kappa$ の $\kappa$-ほとんど決定された mad 族が存在する。
• Corollary 6.3 で示されるように、$\sf{MA}(\sigma\text{-centered})$ の下で、すべての $\omega \leq \lambda \leq \mathfrak{c}$ に対して $\lambda$-最小であるような mad 族 $\mathcal{F}$ が存在する。