[論文レビュー] How to Fairly Allocate Easy and Difficult Chores

Soroush Ebadian, Dominik Peters+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2021

Game Theory and Voting Systems参考文献 17被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、bivalued utilities（エージェントがアイテムに1またはp > 1のコストを割り当てる）を持つ宿題（chores）の公平配分における主要な未解決問題を解決する。具体的には、常にパレート最適（PO）かつ1つのアイテムを除いて envy-free（EF1）である割当が存在することを証明している。著者らは、Fisher市場フレームワークに基づく多項式時間アルゴリズムを提示しており、既存の商品（goods）向け手法を宿題設定に適応させるために、独自の解析的手法を用いている。

ABSTRACT

A major open question in fair allocation of indivisible items is whether there always exists an allocation of chores that is Pareto optimal (PO) and envy-free up to one item (EF1). We answer this question affirmatively for the natural class of bivalued utilities, where each agent partitions the chores into easy and difficult ones, and has cost $p > 1$ for chores that are difficult for her and cost $1$ for chores that are easy for her. Such an allocation can be found in polynomial time using an algorithm based on the Fisher market. We also show that for a slightly broader class of utilities, where each agent $i$ can have a potentially different integer $p_i$, an allocation that is maximin share fair (MMS) always exists and can be computed in polynomial time, provided that each $p_i$ is an integer. Our MMS arguments also hold when allocating goods instead of chores, and extend to another natural class of utilities, namely weakly lexicographic utilities.

研究の動機と目的

• 分割不能な宿題（chores）に対するEF1およびパレート最適（PO）割当が常に存在するかどうかという未解決問題を解決すること。
• EF1を越えた公平性保証を、構造的utilityクラスにおける最大最小共有公平性（MMS）にまで拡張すること。
• bivaluedまたは弱く辞書的順序のutilityを持つ設定において、公平かつ効率的な割当を計算する多項式時間アルゴリズムを開発すること。
• 制限されたutilityクラス下で、より強い公平性概念（例えばEFX）が宿題設定で達成可能かどうかを検討すること。
• MMSとPOの両方を満たす割当を、MMS単体でも計算が非自明である場合でも、効率的に計算できる条件を確立すること。

提案手法

• エージェントが負のutilityを持つ宿題割当設定に、Fisher市場フレームワークを適応させ、アイテムの価格を用いて市場を清算することを目的とする。
• エージェントの評価に基づくアイテム順位を用いて、パレート改善サイクルの終了を多項式時間で保証するためのポテンシャル関数の議論を導入する。
• bivalued utilitiesの場合、1人のエージェントが他のエージェントの割当から1つのアイテムを除いた後に envy を持たないような市場均衡を構築することで、EF1かつPOの割当を達成する。
• MMS公平性の観点から、任意のMMS割当が、パレート改善を用いてMMSかつPOの割当に変換可能であることを証明する。この際、goodsではポテンシャル関数が厳密に減少し、choresでは厳密に増加する。
• 弱く辞書的順序のutilityへは、エージェントの好みに基づく階層的価値関数h(i,r)を定義し、それを用いてパレート改善ステップの数を上限付ける。
• サイクルに基づく改善メカニズム（補題4.14）を用いて、反復的に割当を改善し、utilityクラスに応じてO(m)またはO(m²)ステップで収束することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 bivalued utilities下で、宿題に対するEF1およびパレート最適（PO）割当が常に存在するか？
• RQ2 bivaluedまたは弱く辞書的順序のutility関数に対して、MMSおよびPO割当を効率的に計算できるか？
• RQ3 EF1およびPO公平性を両立する多項式時間アルゴリズムが、宿題割当において存在するか？
• RQ4 Fisher市場フレームワークを、負のutility（宿題）を扱えるように適応させ、公平性および効率性の保証を維持できるか？
• RQ5 パーソナライズドbivalued utilities下で、MMSおよびPO公平性を達成する計算複雑性はいかほどか？

主な発見

• エージェントがコストを{1, p}（p > 1）に限定するbivalued utilitiesを持つ場合、常にEF1かつパレート最適（PO）な宿題割当が存在する。
• この割当は、宿題設定に適応されたFisher市場ベースのアルゴリズムを用いて多項式時間で計算可能である。
• 各エージェントiが固有の整数p_iを持つより広いutilityクラスにおいて、MMS割当は常に存在し、多項式時間で計算可能である。
• 弱く辞書的順序のutility下では、goodsおよびchoresの両方において、MMSかつPOの割当が存在し、多項式時間で計算可能である。
• MMS割当の存在は、MMSかつPOの割当の存在を示唆し、これはパレート改善チェーンを用いて効率的に計算可能である。
• bivalued utilitiesではO(m)ステップ、弱く辞書的順序のutilityではO(m²)ステップでアルゴリズムが終了する。これは、アイテム順位に基づくポテンシャル関数の単調性に起因する。