[論文レビュー] How to generate spinor representations in any dimension in terms of projection operators

N. S. Mankoč Borštnik, H. B. Nielsen|ArXiv.org|Nov 28, 2001

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ひとこと要約

本稿では、クリフォード代数を満たす $γ^a$-行列から導かれる射影作用素を用いて、任意の時空次元におけるスピノル表現を表現に依存せずに生成する手法を提示する。$γ^a$ を形式的な独立作用素として取り扱い、真空状態上で $2^d$ 個の正規直交多項式を構成することで、行列表現を指定せずに不変ローレンツ群表現が得られ、任意の次元および符号形式におけるディラック方程式およびワイル方程式の直接的解法が可能になる。

ABSTRACT

We present a method to find solutions of the Weyl or the Dirac equation without specifying a representation choice for $γ^a$'s. By taking $γ^a$'s formally as independent variables, we construct solutions out of $2^d$ orthonormal polynomials of $γ^a$'s (in $d$-dimensional space) operating on a ``vacuum state''. Polynomials reduce into $2^{d/2}$ or $2^{(d+1)/2}$ repetitions of the Dirac spinors for $d$ even or odd, respectively. We further propose the corresponding graphic presentation of basic states, which offers an easy way to see all the quantum numbers of states with respect to the generators of the Lorentz group, as well as transformation properties of the states under any operator.

研究の動機と目的

• ディラック方程式やワイル方程式を解く際、$γ^a$-行列の特定の行列表現を選択する必要を排除すること。
• 任意の次元 $d$（偶数または奇数）および任意の計量符号形式において、正規直交スピン状態を生成する一般化された技術を提供すること。
• クリフォード代数およびローレンツ生成子構造のみを用いて、行列表現を事前に選択せずに、ディラック方程式およびワイル方程式の明示的解法を可能にすること。
• ローレンツ生成子および任意の作用素の下での変換性を明確に示すグラフィカル表記を導入すること。

提案手法

• $γ^a$-行列を、クリフォード代数 $\{\gamma^a, \gamma^b\}_+ = 2\eta^{ab}$ を満たす形式的独立作用素として取り扱う。
• 真空状態 $|\psi_0\rangle$ に作用する $γ^a$-作用素の $2^d$ 個の正規直交多項式を構成し、スピン状態の完全基底を生成する。
• ローレンツ生成子を $S^{ab} = \frac{i}{4}[\gamma^a, \gamma^b]$ として二項式の形で定義し、ローレンツ代数およびスピン状態の変換則と整合性を保つ。
• 射影作用素 $\frac{1}{2}(1 \pm \Gamma)$（ただし $\Gamma = \gamma^0\gamma^1\cdots\gamma^d$）を用いて、非可約ワイルスピンやディラックスピン表現に射影する。
• ラベル付き頂点（例：$\stackrel{{\scriptstyle 03}}{{(-i)}}$）を用いたグラフィカル表記を導入し、量子数および作用素作用の変換性を符号化する。
• 形式的体系を用いて、$d=3$ および $d=4$ のミンコフスキー空間におけるディラック方程式の明示的解を導出する。運動量および質量パラメータから得られる正規化因子を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$γ^a$-行列の行列表現を指定せずに、任意次元におけるスピン状態を構成できるか？
• RQ2 クリフォード代数およびローレンツ生成子構造は、多項式作用素を用いた正規直交スピン状態の生成において果たす役割は何か？
• RQ3 形式的 $γ^a$-作用素代数のみを用いて、任意次元および符号形式におけるディラック方程式およびワイル方程式をどのように解けるか？
• RQ4 スピン状態の量子数および変換性を明確に可視化できるグラフィカル表記をどのように定義できるか？
• RQ5 多項式構成から生じる「族」の非可約表現はどのようにして出現し、それらの正規直交性および正規化構造はどのような性質を持つのか？

主な発見

• 真空状態に作用する $γ^a$-作用素の多項式から $2^d$ 個の正規直交状態が生成され、偶数次元では $2^{d/2}$ 個、奇数次元では $2^{(d+1)/2}$ 個のワイルスピン族に還元される。
• $d=4$ ミンコフスキー空間におけるディラック方程式の解は、2つの基本状態の線形結合として明示的に構成され、質量項がある場合の正規化因子は $\mathcal{N} = \sqrt{(|p^0|+m)/(2p^0)}$ である。
• 質量ゼロのワイル状態（$d=4$）の解は、$|\psi\rangle = \mathcal{N} \left\{ \frac{1}{2}(\gamma^0 + \gamma^3)(\gamma^1 + i\gamma^2) + \frac{p^1 + ip^2}{|p^0| + p^3} \frac{1}{2}(1 + \gamma^0\gamma^3)(1 - i\gamma^1\gamma^2) \right\} |\psi_0\rangle e^{-ip^a x_a}$ であり、正規化因子は $\mathcal{N} = \sqrt{(|p^0| + p^3)/(2p^0)}$ である。
• この手法により、行列表現を用いずに作用素の作用や固有状態の解を直接計算可能であり、$d=4$ の質量項付きディラック解の明示的形（正規化因子 $\mathcal{N} = \sqrt{1/(2p^0(|p^0| + p^3))}$）によってその有効性が示されている。
• 提案されたグラフィカル表記により、量子数および変換性が即座に可視化可能であり、例として $\stackrel{{\scriptstyle 03}}{{(-i)}}\stackrel{{\scriptstyle 12}}{{(+)}}$ は特定のローレンツ量子数を持つ状態を表す。
• 異なる「族」に属する状態は直交しており、形式的体系は質量項がある場合に自然に左巻きおよび右巻きのワイル成分を分離し、完全なディラックスピン状態は両者を組み合わせて構成される。