[論文レビュー] How to justify Born's rule using the pilot wave theory of de Broglie?

Aurélien Drezet|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2016

Quantum Mechanics and Applications参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ド・ブロイ＝ボームのパイロットウェーブ理論において、ボーンの法則の複数の動的導出を提示している。量子平衡—粒子の位置がボーンの確率分布に従う状態—が、弱い初期条件のもとで決定論的力学から自然に生じることを示している。バーナウリ写像やエンタングルメントに起因する緩和といったカオス的写像を用いて、初期確率密度の不均一性が指数関数的に減少し、長時間の極限では一様な量子平衡に至ることを示している。

ABSTRACT

In this article we discuss few new derivations of the so called Born's rule for quantum probability in the context of the pilot wave theory proposed by de Broglie in 1927.

研究の動機と目的

• ド・ブロイ＝ボームのパイロットウェーブ枠組み内でのボーンの法則の新たな動的導出を提供すること。
• 決定論的初期粒子分布から量子平衡がどのような条件下で生じるかを調査すること。
• カオスとエンタングルメントが量子平衡への緩和に果たす役割を明らかにすること。
• 特に非平衡状態においても、パイロットウェーブ理論における量子平衡の頑健性を評価すること。
• 将来の二重解法則理論が矛盾を回避し、標準量子力学とパイロットウェーブ軌道を完全に再現できる基盤を築くこと。

提案手法

• N 個のスピンなし粒子の基礎的力学として非相対論的シュレーディンガー方程式を用いる。
• ド・ブロイ＝ボームの誘導方程式を適用して、波動関数に従う粒子軌道を定義する。
• バーナウリ写像 $ y_{n+1} = 2y_n \mod 1 $ を用いて量子平衡への緩和をモデル化し、指数的混合を誘発する。
• ペロン＝フロベニウスの反復関係を用いる： $ \rho_{n+1}(y) = \frac{1}{2}(\rho_n(y/2) + \rho_n((y+1)/2)) $、これは密度の時間発展を記述する。
• 確率密度をバーナウリ多項式の展開で表現する： $ \rho_n(y) = \sum_{m=0}^\infty C_m e^{-n m \ln 2} B_m(y) $、非定数モードの指数的減衰を示す。
• 連続時間の緩和方程式を導出する： $ \frac{d}{dt}\rho_t(y) = -\frac{\rho_t(y) - 1}{\tau} $、統計力学における運動論的緩和に類似している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パイロットウェーブ理論がどのように自然にボーンの確率分布に至るのか。
• RQ2 誘導ダイナミクスにおける決定論的カオスが、初期確率分布の量子平衡への緩和にどのように寄与するか。
• RQ3 エンタングルメントが軌道の交差を可能にし、パイロットウェーブ枠組みにおけるカオス的ダイナミクスの出現に果たす役割は何か。
• RQ4 量子平衡への緩和を、ボルツマン方程式やプリゴーギンの散逸系に類似した運動論的プロセスとしてモデル化できるか。
• RQ5 量子平衡はパイロットウェーブダイナミクスの頑健な結果であるか。非平衡状態を用いて、標準量子力学からの逸脱を検証可能か。

主な発見

• 初期不均一性にかかわらず、確率密度 $ \rho_n(y) $ は $ n \to \infty $ のとき一様分布 $ \rho_n(y) \to 1 $ に収束する。
• 緩和プロセスは指数的に速く、非一様成分の減衰率は $ e^{-n \ln 2} $ で与えられ、これは $ \ln 2 $ のリャプノフ指数に対応する。
• 漸近的緩和は連続時間のフォッカー＝プランク型方程式で記述される： $ \frac{d}{dt}\rho_t(y) = -\frac{\rho_t(y) - 1}{\tau} $、ここで $ \tau \propto \tau_0 (1 - e^{-\ln 2})^{-1} $ である。
• 高次バーナウリ多項式モードの指数的減衰により、弱い初期条件のもとでも量子平衡への収束は頑健である。
• 系はK系やバーナウリシフトに特徴的な混合行動を示し、量子平衡と決定論的カオスの間に深い関係があることを示唆している。
• 結果は、量子平衡が恣意的な仮定ではなく、カオス的進化を示す決定論的力学の自然な結果であるという考えを支持している。